Importancia del axioma de elección

Question

En primer lugar, una pregunta rápida sobre la definición del axioma de elección. ¿Los conjuntos tienen que ser conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos o sólo no vacíos? Una fuente afirma: "Para cualquier conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección f definida en X". Pero otra fuente afirma que los conjuntos tienen que ser mutuamente disjuntos.

En segundo lugar, perdóname si parezco ignorante (estoy aprendiendo esto como un hobby, así que no tengo mucha experiencia o tiempo para ello) pero ¿no es un concepto realmente obvio/autoevidente? Quiero decir, esencialmente, es decir que si usted tiene una colección de conjuntos no vacíos, entonces usted puede elegir un elemento de cada conjunto. Me doy cuenta de que hay dificultades cuando no podemos hacer elecciones explícitas porque no podemos crear un algoritmo explícito para la función de elección (por ejemplo, la colección de todos los subconjuntos no vacíos de la línea real), pero ¿importa eso realmente?

Es decir, al igual que el número 5, la existencia de la función "f" es puramente formal. Las matemáticas no son capaces de describir o demostrar completamente todo, pero eso no significa que no exista.

Answer 1

Para finito $X$ es ciertamente obvio. Para un número contablemente infinito $X$ es menos obvio, y para los incontables $X$ No es obvio en absoluto; se convierte en una afirmación altamente abstracta sobre las propiedades previstas de ciertos objetos altamente abstractos en una teoría altamente abstracta.

Answer 2

No importa si se requiere que los conjuntos sean disjuntos por pares o no: las dos versiones son equivalentes. Para ver esto, supongamos que sólo tenemos la versión para conjuntos disjuntos por pares, y dejemos que $\mathscr{A}$ sea un conjunto cualquiera de conjuntos no vacíos. Para cada $A\in\mathscr{A}$ dejar $A'=A\times\{A\}$ y que $\mathscr{A}'=\{A':A\in\mathscr{A}\}$ Entonces $\mathscr{A}'$ es un conjunto de conjuntos disjuntos no vacíos, por lo que tiene una función de elección $\varphi:\mathscr{A}'\to\bigcup\mathscr{A}'$ tal que $\varphi(A')\in A'$ para cada $A'\in\mathscr{A}'$ . Pero entonces $\varphi(A')=\langle a,A\rangle$ para algunos $a\in A$ Así que $\pi\circ\varphi$ es una función de elección para $\mathscr{A}$ , donde $\pi$ es la función de proyección que escoge el primer componente de un par ordenado.

El axioma de la elección hace parece evidente a primera vista, pero tiene algunas consecuencias que están lejos de ser evidentes y que, de hecho, parecen muy improbables a primera vista. Por ejemplo, puede que le guste leer sobre la Descomposición paradójica de Banach-Tarski de la esfera . Y resulta que no es una consecuencia ni entra en conflicto con los axiomas habituales de la teoría de conjuntos: es independiente de ellos, pero también coherente con ellos.

Answer 3

Hay muchas formulaciones equivalentes para el axioma de elección. Hay que referirse a las dos siguientes:

1. Para toda colección de conjuntos no vacíos $\cal A$ existe una función tal que $f(A)\in A$ para todos $A\in\cal A$ .
2. Para cada colección de conjuntos disjuntos por pares, $\cal A$ existe $C$ tal que $C\cap A$ es un singleton, para todo $A\in\cal A$ .

Sin embargo, en general, cuando se exige la existencia de una función de elección no nos importa que los conjuntos no sean disjuntos.

Para la segunda pregunta, el axioma de la elección es efectivamente muy intuitivo. Parece tan obvio que podemos hacerlo. De hecho, en algunas teorías constructivas de conjuntos el axioma de elección es de hecho un teorema . Sin embargo, son tantas las consecuencias contraintuitivas que se derivan de este axioma que la gente lo rechazó de plano desde el principio.

El hecho de que no podamos escribir una elección explícita asuntos porque cuando escribimos una prueba necesitamos referirnos a un objeto, y no podemos referirnos a este objeto si no podemos demostrar que existe. Así que si podemos escribirlo, entonces existe y todo está bien; pero si no se puede escribir explícitamente? ¿Qué pasa entonces? Entonces se necesita un axioma para afirmar su existencia.

Las matemáticas pueden o no existir en un sentido platónico. Eso no lo sabemos. Tampoco nos gusta que nuestras matemáticas se basen en la pura creencia. Preferimos que se basen en la deducción. Incluso si algo existe, pero no podemos demostrarlo, entonces no ayuda a nadie.

Answer 4

Los dos enunciados de elección dados son equivalentes; si algún elemento aparece en más de un conjunto, entonces la función de elección podría elegirlo ambas veces, por lo que podríamos darle nombres diferentes en cada uno de estos dos conjuntos, reduciendo al caso mutuamente disjunto en el que la existencia de una función de elección es equivalente a una en la configuración original. Esto es un poco vago, pero en principio debería ser la idea correcta. (La respuesta de Brian M. Scott es mucho más explícita al respecto).

Estoy de acuerdo, subjetivamente, en que el axioma de elección es "obvio". Ese es el sentido de los axiomas: son afirmaciones que crees que cualquier modelo matemático sensato debería satisfacer, así que las asumes en lugar de demostrarlas. Al fin y al cabo, hay que asumir al menos una afirmación para poder demostrar cualquier otra. Sin embargo (y este es un gran sin embargo), el axioma de elección se discute más que muchos otros axiomas, e incluso no es asumido por algunas personas, porque tiene consecuencias muy contraintuitivas, como la Teorema de Banach-Tarski . Esto debería llevar a preguntarse si es realmente tan "obvio" que el axioma de la elección debe ser verdadero, ya que tiene consecuencias que, en un sentido similar, ¡deberían ser "obviamente" no verdaderas!

Una palabra sobre su última frase; hay axiomas inherentes a las diversas definiciones de $5$ Sólo los menos controvertidos. Lo ideal es no asumir nada sin ser explícito en el hecho de que lo estás asumiendo.

Answer 5

Hay algunas respuestas estupendas para tu primera parte, pero déjame añadir algo para tu segunda parte:

Una de las razones por las que la AC parece "obvia" es que las matemáticas utilizadas por los físicos para describir "nuestro universo" dependen de ella (construcción de bases ortonormales de espacios de Hilbert en Mecánica Cuántica/Teoría Cuántica de Campos, etc.). Esto no significa que los sistemas matemáticos más formales sean menos correctos, ni que no vayamos a utilizar un sistema no basado en la AC para algún modelo físico posterior, pero hasta ahora las matemáticas en el "mundo real" utilizan la AC con mucha frecuencia.