Equivalencia natural entre la homología singular y simplicial

Question

Sé que, para cada $\Delta$-complejo de $X$, hay un isomorfismo canónico $\phi_n : H_n ^\Delta (X) \to H_n (X) $ donde $H^\Delta _n (X)$ $n$- th homología simplicial grupo, y $H_n (X)$ $n$- th homología singular grupo.

Para simplicial $\Delta$-complejos, tenemos también la noción de orden que preserva simplicial mapas, y cada simplicial mapa de $f:X\to Y$ induce una de morfismos $f^\Delta _{\bullet_*}$ de homología simplicial $H^\Delta _\bullet $.

Mi pregunta es: son los morfismos $f^\Delta _{\bullet_*}$ $f _{\bullet_*}$ (la inducida por morfismos en singular homología) "el mismo" a través de la canónica isomorphisms? Creo que esto es cierto, pero estoy teniendo problemas para probar esto, porque si $\sigma$ $n$- simplex de $X$ $f$ envía $\sigma$ en un simplex de $Y$ tal que $\dim f(\sigma) < \dim \sigma$,$ f_n (\sigma)=0 $, pero si denotamos $c_\sigma : \Delta ^n \to X $ el mapa de características de $\sigma$ $\Delta$-estructura compleja de $X$, $ f\circ c_\sigma :\Delta^n \to Y$ es un bien definidas $n$-singular simplex de $Y$.

Gracias.

Answer 1

Sí, esto es cierto. He aquí una manera de demostrarlo. Para $0\leq j<n$, escribir $s_j^{n-1}:\Delta^n\to\Delta^{n-1}$ para el mapa inducida por el fin de la preservación de surjection $\{0,\dots,n\}\to\{0,\dots,n-1\}$ que se asigna tanto $j$$j+1$$j$. Decir que un singular simplex $\Delta^n\to X$ es degenerada si los factores a través de $s_j^{n-1}$ algunos $j$. Tenga en cuenta que el límite de un degenerado simplex es una combinación lineal de los degenerados simplices: todos, pero posiblemente dos de sus caras son degenerados (las dos excepciones son las caras correspondientes a la omisión de los vértices $j$$j+1$), y esos dos caras cancelar. Así que si escribimos $D_n(X)\subseteq C_n(X)$ para el lapso de los degenerados simplices, $D_\bullet(X)$ es un subcomplejo de $C_\bullet(X)$. Escribir $N_\bullet(X)=C_\bullet(X)/D_\bullet(X)$.

Ahora tenga en cuenta que dado una orden-la preservación de simplicial mapa de $f:X\to Y$, la inducida por los mapas de $C^\Delta_\bullet(X)\to C^\Delta_\bullet(Y)\to C_\bullet(Y)\to N_\bullet(Y)$ $C^\Delta_\bullet(X)\to C_\bullet(X)\to C_\bullet(Y)\to N_\bullet(Y)$ son iguales, puesto que el $n$-simplices $\sigma$ que usted está preocupado acerca de tener la propiedad de que $f\circ c_\sigma$ es degenerado. Así que para mostrar que $f^\Delta_{\bullet_*}=f_{\bullet_*}$, es suficiente para mostrar que el mapa de $C_\bullet(Y)\to N_\bullet(Y)$ induce isomorphisms en la homología. Por el largo de la secuencia exacta en la homología asociados a la corta secuencia exacta $0\to D_\bullet(Y)\to C_\bullet(Y)\to N_\bullet(Y)\to 0$, es suficiente para mostrar que $D_\bullet(Y)$ ha trivial de homología.

Podemos demostrar esto mediante la construcción de una cadena de homotopy. Dado un degenerado $n$-simplex $\sigma:\Delta^n\to Y$, vamos a $j(\sigma)\in\{0,\dots,n-1\}$ ser el menos $j$ tal que $\sigma$ factores a través de $s_j^{n-1}$. Ahora defina $H:D_n(Y)\to D_{n+1}(Y)$$H(\sigma)=(-1)^{j(\sigma)}\sigma\circ s^n_{j(\sigma)}$. Una elementales de cálculo, a continuación, muestra que $H\partial+\partial H:D_n(Y)\to D_n(Y)$ es el mapa de identidad. De ello se desprende que $D_\bullet(Y)$ no tiene homología.

Para dar una idea de la computación $H\partial+\partial H=1$, vamos a mostrar lo que sucede cuando usted toma un $3$-simplex $\sigma$$j(\sigma)=1$; el caso general funciona de manera muy similar. Vamos a escribir $\sigma=[a,b,b,c]$; todos los simplices construido a partir de $\sigma$ va a ser escrito utilizando expresiones similares con el evidente significado (aquí $a$, $b$, y $c$ son los vértices de $\sigma$, $b$ repetirse, ya que los factores a través de $s^2_1$). Luego tenemos la $H(\sigma)=-[a,b,b,b,c]$, lo $$\begin{align}\partial H(\sigma)=&-[b,b,b,c]+[a,b,b,c]-[a,b,b,c]+[a,b,b,c]-[a,b,b,b]\\=&-[b,b,b,c]+[a,b,b,c]-[a,b,b,b].\end{align}$$ Por otro lado, $\partial\sigma=[b,b,c]-[a,b,c]+[a,b,c]-[a,b,b]=[b,b,c]-[a,b,b]$. Tenemos $H([b,b,c])=[b,b,b,c]$$H([a,b,b])=-[a,b,b,b]$. Así tenemos $$H(\partial\sigma)=[b,b,b,c]+[a,b,b,b].$$ When we add together $\parcial H(\sigma)$ and $H(\partial\sigma)$, all the terms cancel except $[a,b,b,c]$, which is just $\sigma$.