Estoy atascado en la pregunta 4-3. de John Lee Múltiples riemannianos :
Existe un campo vectorial en $\Bbb R^2$ que se desvanece a lo largo del $x_1$ -pero cuya derivada de Lie con respecto a $_1$ no desaparece en el $x_1$ -eje.
Definir: $v=a \partial_1+b \partial_2$ con $a,b \in C^\infty(\Bbb R^2)$ tal que $a(x,0)=b(x,0)=0$ la derivada de Lie debe ser: $$\mathcal L_{\partial_1}(v)=[\partial_1,v]=\partial_1 v - v \partial_1= \partial_1 a \partial_1+\partial_1 b \partial_2 - a \partial_1^2-b \partial_2 \partial_1=\frac{\partial a}{\partial x_1}\partial_1+\frac{\partial b}{\partial x_1}\partial_2$$ Pero ahora, en el punto $p=(x,0)$ $$\mathcal L_{\partial_1}(v)(p)=\frac{\partial a}{\partial x_1}|_p\partial_1+\frac{\partial b}{\partial x_1}|_p\partial_2$$ tendría que ser $0$ porque la desaparición de $a$ y $b$ en el $x_1$ -implica la desaparición de $\partial_1 a$ y $\partial_1 b$ a lo largo del $x_1$ -eje.
¿Dónde está el error en mi razonamiento anterior?
