Ramanujan ' s Surd: prueba requerida.

Question

Me encontré con un problema en la web, es como sigue:

Pregunta:Si $ x $, $ y $ y $ z $ son números racionales tales que $ \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}$ , a continuación, encontrar $ x,y,z $.

De Wikipedia|Anidada Radicales|Algunas identidades por Ramanujan, es claro que los valores de $x,y,\text{and} \ z$ es $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$,$-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}$ y $\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$ respectivamente.

Sin embargo, incluso después de ir a través de las referencias de la wikipedia y de la web [2], [3], [4]; todavía me falla en la comprensión de la misma.

Por favor alguien puede mostrarme la prueba de este resultado de una manera intuitiva?

Mi enfoque en atacar este problema es el siguiente,

Vamos, $y = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}$

Cubicación de ambos lados,

$$ y^{3} = \sqrt[3]{2}-1 \\ \implica y^{3}+1=\sqrt[3]{2} \\ \implica (y^{3}+1)^{3}= 2 $$

Ahora, usando la identidad : $(a+b)^3=a^3 + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$

$$ y^{9} + 3y^{6}+3y^{3}+1 = 2 \\ \implica y^{9} + 3y^{6}+3y^{3} - 1 = 0 $$

Ahora, me da la ecuación cúbica mediante la sustitución, $y^{3} = m$

$$ m^{3} + 3m^{2}+3m - 1 = 0 $$

Parece que me pierdo en mi propia web.

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Quieres una prueba de la identidad $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$$ which can be written as $$\sqrt[3]{x-1}=\frac{1-x+x^{2}}{\sqrt[3]{9}}$$ where $x=\sqrt[3]{2}$. Thus we let the RHS be denoted by $y$ and show that $y^{3}=x-1$. Since $x,$ y son reales, esto demuestra el deseo de identidad.

Ahora podemos ver que $$y^{3}=\frac{(1-x+x^{2})^{3}}{9}=\frac{(x^{3}+1)^{3}}{9(x+1)^{3}}=\frac{3}{x^{3}+3x^{2}+3x+1}=\frac{1}{1+x+x^{2}}=\frac{x-1}{x^{3}-1}=x-1$$ In the above algebraic manipulation $x^{3}$ has been replaced with $2$.

Ramanujan era experto en la manipulación algebraica de los números así como la expresión simbólica tanto como para hacer de ARCE y MACSYMA casi innecesario y obtuvo la mayoría de tales almacenaje de los radicales, como casos especiales de general identidades algebraicas. No era exactamente como la resolución de las ecuaciones para encontrar el valor de $x, y,z$ al pedir en la pregunta.