¿Dónde está el axioma de elección?

Question

En Reid álgebra conmutativa, no es una prueba de condiciones equivalentes a las de Noetherian anillos, especialmente (1) El conjunto de los ideales de $A$ tiene una.c.c. $\Rightarrow$ (2) de Todos los ideales en $A$ es finitely generado. Me puso de relieve la sentencia de la que me interesa.

Prueba) Recoger $f_1 \in I$, entonces si es posible $f_2 \in I \setminus (f_1)$, y así sucesivamente. En cada paso, si $I \neq (f_1, \cdots, f_k)$, pick $f_{k+1} \in I \setminus (f_1,\cdots,f_k)$. Luego por la una.c.c., la cadena de ideales $(f_1) \subset (f_1,f_2) \subset \cdots \subset (f_1,\cdots,f_k) \subset \cdots$ debe romper en algún momento, y esto sólo puede suceder si $(f_1,\cdots,f_k)=I$. Esta prueba consiste en una apelación implícita a el axioma de elección.

Donde el axioma de elección se utiliza? Es a partir de la construcción de la infinita ascendente de la cadena?

Answer 1

Como lhf comentado (y Arturo respondió mientras escribo esto), podemos "elegir" inductivamente en cada paso.

Este es un punto muy delicado realmente, porque a cada paso finito todavía podemos elegir elementos sin el axioma de elección (o cualquier fragmento). Sin embargo, para hablar acerca de una determinada cadena infinita debemos tener alguna opción.

Aquí hay un ejemplo sobre inductivo elección, que funciona a través de un caso infinito, construimos un conjunto ordenado cuya cardinalidad es infinita:

• Para $a_0$ elija $0$.
• Si $a_n$ fue elegido, elija $a_{n+1}$ $a_n + 1$ y definen $a_{n+1}>a_k$ todos los $k<n$.

El conjunto $\{a_n\mid n\in\mathbb N\}$ con el orden definido en el paso inductivo nos da un conjunto infinito que es linealmente ordenado. En este caso, la inducción funciona incluso después de que el finito de etapas, podemos llamar a esto una inducción transfinita.

Sin embargo, este no es siempre el caso, en ausencia de elección considerar el desconcertante caso de Amorfo conjuntos. $A$ amorfo si y sólo si $A$ no es finito, y cada subconjunto es finito o co-finito (es decir, conjuntos cuyo complemento es finito).

Ahora empieza la misma base de inducción:

• Elija $a_0\in A$,
• Suponga $a_n\in A\setminus\{a_i\mid i<n\}$ y elija $a_{n+1}\in A\setminus\{a_i\mid i\le n\}$

Todo esto está bien, y la inducción es válido para cada finito etapa - por ejemplo, usted puede elegir un número finito de $a_n$ sin problema. Sin embargo, si usted podría optar $a_n$ todos los $n$, entonces usted tiene un subconjunto infinito que es isomorfo a los números naturales.

Eso es una contradicción. Por qué? Asumimos que el conjunto no tiene ningún subconjunto infinito cuyo complemento es infinito considerar los subconjuntos $\{a_{2n}\mid n\in\mathbb N\}$ y su complemento de ambos conjuntos contienen una infinidad de elementos.

Esto nos da un ejemplo de una muy similares de inducción que no se traslada en el infinito de los casos, es decir, no es una inducción transfinita.

En la prueba se dio en la pregunta usamos el hecho de que podemos definir secuencia infinita, y que no se detuvo después de un número finito de pasos. Esto requiere de un fragmento de la elección - el Principio de La Dependiente de la Elección - como dijo Arturo, pero esta es usada con frecuencia a través de y el resultado es que, sin que para la mayoría de los [infinitary] matemáticas se pueden encontrar contraejemplos (patológico, pero sin embargo), y con ella se puede desarrollar la mayoría de los análisis real y "contable" de las matemáticas tal y como la conocemos.

Esto toma algún tiempo para acostumbrarse a, e, invariablemente, la mayoría de la gente usa el axioma de elección casi a ciegas. Esto hace que las matemáticas "trabajo como esperamos que el trabajo" en la mayoría de los casos, y se asegura de que infinitary los procesos de trabajo como finitary (por ejemplo, la elección de un conjuntos infinitos siempre podemos elegir otro elemento).

Answer 2

Usted está utilizando el Axioma de Dependiente de Elección para garantizar que hay una secuencia de opciones de elementos de $f_i$ que usted puede hacer. En ningún momento se puede garantizar que se realizan, desde la generación de conjuntos puede ser ilimitado (es decir, es posible que para cada $n$ no es un ideal que se requiere de al menos $n+1$, aunque un número finito de elementos a ser generados).

Una manera de ver más claramente (y no ser deslumbrado por el hecho de que parece que sólo hay que hacer un número finito de opciones) para demostrar que el contrapositivo: supongamos que $A$ tiene un ideal $I$ que no es finitely generado. A continuación, proceder como en el anterior, usando el Axioma de (Dependiente) Elección para asegurar que usted pueda seleccionar toda la secuencia de $f_1,\ldots,f_n,\ldots$ de los elementos con la propiedad de que $(f_1,\ldots,f_n)\neq(f_1,\ldots,f_n,f_{n+1})$ por cada $n$, para obtener una estrictamente creciente secuencia infinita de ideales. Usted realmente necesita el Axioma de Dependiente de la Elección aquí, porque usted necesita hacer todos los (infinitamente muchas opciones.

Por supuesto, la fuerza de Opción se utiliza cuando se acredite que el anillo tiene ACC en ideales si y sólo si cada conjunto no vacío de ideales tiene la máxima elementos.