La duda que tengo es:
Que $f: S^1 \rightarrow S^1$ sea una función continua, $S^1$ Dónde está el círculo unitario. Demostrar que si no se encuentra en $f$, entonces $f$ debe tener un punto fijo.
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chris
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$f$ no es SOBRE,este es nul homotópica, a lo que habrá de punto fijo.
deje $f:S^1\rightarrow S^1$ ser nulhomotopic, luego se extiende a un mapa de $F$ $B^2$ $S^1$que puede ser pensado como un mapa de $B^2$$B^2$, y, a continuación, aplicar Brouwer del Teorema de Punto Fijo, $F$ debe tiene un punto fijo,. Ya que la imagen de $F$ está contenido en $S^1$, por lo que este punto fijo, debe recaer en $S^1$, por lo que también es un punto fijo de $f$.
También vemos como esta es nulo homotópica de modo que el grado de $f=0$, pero no es un resultado diciendo $f:S^1\rightarrow S^1$ sin punto fijo tiene un grado $(-1)^{n+1}$
Anthony Shaw
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858
Elegir un punto de $x_0$, de modo que $x_0\not\in f(S^1)$. A continuación, el mapa de $g:S^1\mapsto T_{x_0}$ por $$ g(x)=4\frac{x-x_0}{|x-x_0|^2}+x_0\etiqueta{1} $$ es la inversión del mapa con respecto a la circunferencia de radio $2$ centrada en $x_0$ donde $T_{x_0}$ es la tangente a $S^1$ a $-x_0$. $g$ es continua e inyectiva en a $f(S^1)$.
$g\circ f(S^1)$ es un compacto, conectado subconjunto de $T_{x_0}$ (un segmento de línea). Por lo tanto, debe haber dos puntos, $x_1$$x_2$, por lo que el $g\circ f(x_1)$ $g\circ f(x_2)$ son los extremos de $g\circ f(S^1)$.
Tenga en cuenta que si $g\circ f(x_1)=g\circ f(x_2)$, $f(S^1)$ es un punto único, que debe ser un punto fijo. Por lo tanto, podemos asumir que $g\circ f(x_1)\not=g\circ f(x_2)$
Considere la posibilidad de $h:S^1\mapsto\mathbb{R}$ definido por $$ h(x)=(g\circ f\circ f(x)-g\circ f(x))\cdot(g\circ f(x_2)-g\circ f(x_1))\etiqueta{2} $$ $h$ es continua y desde $g\circ f(S^1)$ está entre o igual a$g\circ f(x_1)$$g\circ f(x_2)$, tenemos $$ h(x_1)\ge0\quad\text{y}\quad h(x_2)\le0\etiqueta{3} $$ Desde $h(S^1)$ está conectado, debe haber alguna $x_3\in S^1$, de modo que $$ h(x_3)=0\etiqueta{4} $$ Dado que el rango de $g$ está contenida en $T_{x_0}$, $(2)$ y $(4)$ implica que $$ f\circ f(x_3)=f(x_3)\etiqueta{5} $$ y $f(x_3)$ es un punto fijo de $f$.
Que $x\in S^1$ no estar en el rango de $f:S^1\to S^1$ y le presentamos un % de parametrización (velocidad constante) $\phi:[0,1)\to S^1$tal que $\phi(0)=x$. Entonces consideramos $F=\phi^{-1}\circ f\circ \phi:[0,1)\to[0,1)$. Continuamente podemos extender $F$ $F:[0,1]\to[0,1]$, y obviamente, tenemos $F(0)>0$ y $F(1)<1$. Por lo tanto $F$ tiene un punto fijo.
