Se $\mathbb{C}\backslash[0,1]$ $\mathbb{C}\backslash(\cup_{n\in\mathbb{N}_{>0}}\{t \cdot \exp(2 \pi i /n):t\in[0,1/n]\})$ biholomorphic?

Question

Se $\mathbb{C}\backslash[0,1]$ $\mathbb{C}\backslash \left(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}_{>0}}\{t \cdot \exp(2 \pi i /n):t\in[0,1/n]\} \right)$ biholomorphic?

Un amigo me dijo, son biholomorphic, pero no sabía en el mapa. ¿Podría usted ayudarme?

En mi opinión no son biholomorphic, porque las cosas nos van a eliminar en la segunda es la serie armónica, si me summ la longitud de los Intervalos. Funciona, si reemplazamos $1/n$ por encima de con $1/n^2$?

Answer 1

Los dos dominios son biholomorphically equivalente, pero no te puedo dar una explícita biholomorphism entre ellos, por desgracia.

A ver que ellos son biholomorphically equivalente, tenga en cuenta que por contigua $\infty$ a dos de ellos, obtenemos dos simplemente se conecta dominios $U_1 = \hat{\mathbb{C}}\setminus [0,\,1]$ $U_2 = \hat{\mathbb{C}} \setminus \left(\bigcup_{n > 0} \{ t\cdot\exp{2\pi i/n} : t \in [0,\,1/n]\}\right)$ en la esfera de Riemann.

Desde el complemento de ambos, $U_1$$U_2$, contiene más de un punto, por el mapeo de Riemann teorema, hay biholomorphisms $\varphi_1 \colon \mathbb{D} \to U_1$$\varphi_2 \colon \mathbb{D} \to U_2$. Deje $z_1 = \varphi_1^{-1}(\infty)$$z_2 = \varphi_2^{-1}(\infty)$. Deje $\psi \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$$\psi(z_1) = z_2$. A continuación, $\varphi = \varphi_2 \circ \psi \circ \varphi_1^{-1}$ es un biholomorphism $U_1 \to U_2$$\varphi(\infty) = \infty$. La restricción $\varphi$ $\mathbb{C}\setminus [0,\,1]$da un biholomorphism entre los dos dominios en cuestión.