La divergencia en la Definición de Laplace-Beltrami Operador

Question

Estoy tratando de obtener una fórmula explícita para Laplace-Beltrami operador global de coordenadas Cartesianas para un caso especial de plano de la curva. He encontrado este artículoy me gustaría coincidir con su expresión (6) para LIBRA en una curva con la definición estándar en términos del tensor métrico.

De acuerdo a la fórmula $(6)$ en el papel, Laplace-Beltrami operador en el plano de la curva puede ser escrito como

\begin{align} \Delta_{LB}\, u & = \Delta u + \kappa\,u_{n} - u_{nn} \\ & = \tag{%#%#%} \Delta u + \kappa\,\vec{n}\cdot\nabla u - \vec{n}\cdot\nabla\left(\vec{n}\cdot\nabla u\right) \end{align}

• $\star$ es la unidad normal de vectores,
• $\,\vec{n}\,$ es la curvatura,
• $\,\kappa=-\nabla\cdot\vec{n}\,$ $\,u_{n} = \vec{n}\cdot\nabla u\,$ son de primer y segundo normal derivados,
• $\,u_{nn} = \vec{n}\cdot\nabla \left(\vec{n}\cdot\nabla u\right)\,$ $\,\nabla u\,$ son, respectivamente, el gradiente y el Laplaciano de $\,\Delta u\,$.

Estoy teniendo problemas derivados $\,u\,$ o coincidente con métrica tensor de expresión para LB operador

\begin{align}\tag{%#%#%} \Delta_{LB}\, u = \dfrac{1}{\sqrt{\left\lvert g\right\rvert}}\,\partial_i\,\Big(\sqrt{\left\lvert g\right\rvert} \,g^{ij}\,\partial_j \,u \Big) \end{align}

Me pueden derivar $(\star)$ a partir de Laplace-Beltrami expresión $\ast$ suponiendo que la superficie de la divergencia de un vector es igual a la divergencia regular de su proyección a la curva.

Esta es una GRAN suposición, y no sé cómo justificar. Agradecería si alguien me podría ayudar a justificar mi suposición, o para derivar $(\star)$ sin supuestos (superficie) de la divergencia.

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Mi intento de derivar $\,\Delta_{LB}\,u = \nabla_{s}\cdot\big(\nabla_{s}\,u\big)\,$: deje $(\star)$, e $(\star)$ el valor de la superficie de gradiente y la proyección de operador, entonces

\begin{align} \Delta_{LB}\, u & = \nabla_{s}\cdot\big(\nabla_{s}\,u\big) \stackrel{\color{red}{\huge ?}}{=} \nabla\cdot\big(\nabla_{s}\,u\big) \\ & = \nabla\cdot\big(P\;\nabla \,u\big) = \nabla\cdot\Big(\nabla\,u-\big(\vec{n}\cdot\nabla\,u\big)\,\vec{n}\Big) \\ & = \Delta\,u-\left(\nabla\cdot\vec{n}\right)\left(\vec{n}\cdot\nabla u\right)- \vec{n}\cdot\nabla\left(\vec{n}\cdot\nabla u\right) \\ & = \Delta u + \kappa\,u_{n} - u_{nn} \end{align}

Answer 1

El gradiente superficial operador se define como sigue

$$\eqalign{ & \mathop \nabla \límites^s = \left( {{\bf{I}} - {\bf{n}} \otimes {\bf{n}}} \right).\nabla \cr y = {\bf{I}}.\nabla - \left( {{\bf{n}} \otimes {\bf{n}}} \right).\nabla \cr & = \nabla - \left( {{\bf{n}}.\nabla } \right){\bf{n}} \cr}\etiqueta{1}$$

• $\bf{n}$ es la unidad vector normal
• $\bf{I}$ es la segunda orden de la identidad tenor
• $\otimes$ es el producto tensor
• $.$ es el producto escalar

Como se puede ver en la $(1)$ hemos restado la componente normal de la $\nabla $ a partir de ella y de ahí el nombre de gradiente superficial.

El uso de $(1)$ derivar la fórmula. Considere el siguiente

$$\mathop \nabla \limits^s .{\bf{F}} = \left( {\nabla - \left( {{\bf{n}}.\nabla } \right){\bf{n}}} \right).{\bf{F}} = \nabla .{\bf{F}} - \left( {{\bf{n}}.\nabla } \right){\bf{n}}.{\bf{F}} = \nabla .{\bf{F}} - {\bf{n}}.\nabla \left( {{\bf{n}}.{\bf{F}}} \right)\tag{2}$$

Ahora, si pones ${\bf{F}} = \mathop \nabla \limits^s u$ usted puede tener

$$\mathop \nabla \limits^s .\mathop \nabla \limits^s u = \nabla .\mathop \nabla \limits^s u - {\bf{n}}.\nabla \left( {{\bf{n}}.\mathop \nabla \limits^s u} \right)\tag{3}$$

pero

$${\bf{n}}.\mathop \nabla \limits^s u = {\bf{n}}.\left( {\nabla u - \left( {{\bf{n}}.\nabla u} \right){\bf{n}}} \right) = {\bf{n}}.\nabla u - \left( {{\bf{n}}.\nabla u} \right)\left( {{\bf{n}}.{\bf{n}}} \right) = {\bf{n}}.\nabla u - {\bf{n}}.\nabla u = 0\tag{4}$$

y por lo tanto

$$\mathop \nabla \limits^s .\mathop \nabla \limits^s u = \nabla .\mathop \nabla \limits^s u\tag{5}$$