Encuentra el punto de una parábola más cercano a otro punto.

Question

Encuentra el punto de la parábola $3x^2+4x-8$ que está más cerca del punto $(-2,-3)$ .

Mi plan para este problema era utilizar la fórmula de la distancia y luego que la derivada para obtener mi respuesta. Estoy teniendo un pequeño problema en el camino.

$$ d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$

Answer 1

$$ d = \sqrt{(x - (-2))^2 + ((3x^2+4x-8) - (-3))^2} = \sqrt{\left(x+2\right) ^2 + \left(3x^2+4x-5 \right)^2}$$

En lugar de minimizar $d$ , vamos a minimizar $d^2$ . Hay que tener en cuenta que el mínimo de $d$ y $d^2$ son exactamente los mismos que $d \geq 0$ . Esto elimina la raíz cuadrada, simplificando así el problema.

$$d^2 = (x+2)^2 + (3x^2+4x-5)^2.$$

Ahora, podemos usar el cálculo para minimizar $d^2$ ,

$$(d^2)' = 2(x+2) + 2(3x^2+4x-5)(6x+4) = 36x^3 + 72x^2 - 26x - 36$$

Esto tiene sus raíces en $x \approx -2.118, -.631, .749$ . Sabemos que uno de ellos debe ser el mínimo absoluto, así que evalúa $d^2$ para cada $x$ -y el que sea menor es el $x$ -valor del punto de la parábola más cercano al punto dado. A continuación, deberás introducir ese $x$ -en la ecuación de la parábola para determinar la $y$ -valor donde ocurre esto. Tengo,

Ans: $ (-2.118, -3.014) $

Answer 2

Supongamos que el punto más cercano está en $p=(x_0,y_0)$ , y establecer $q=(-2,-3)$ . Entonces la tangente a la parábola en $p$ es perpendicular a $\ell$ la línea que atraviesa $p,q$ .

Desde $y'=6x+4$ la pendiente de la tangente es $6x_0+4$ por lo que la pendiente de $\ell$ es $-\frac{1}{6x_0+4}$ . Dado que pasa a través de $q$ vemos la ecuación para $\ell$ es $$y+3 = -\frac{x+2}{6x_0+4}$$

Combinando con $y=3x^2+4x-8$ muestra que $x_0$ es una raíz de $$ (6x+4)(3x^2+4x-5)+(x+2)=18x^3+36x^2-13x-18=0 $$ y acabamos calculando numéricamente las raíces a partir de aquí.