La función
$$g(x):={\log(1+x)\over x}=1-{1\over2} x+{1\over3}x^2-\ldots$$
tiene una singularidad removible en$0$, y toma el valor de $1$ no. De ello se desprende que en algunos vecindario $U$ $0$ la función de $g$ tiene una analítica de la raíz cuadrada $f$$f(0)=1$, y que podemos escribir
$$\sqrt{\log(1+x)}=\sqrt{\mathstrut x}\ f(x)\qquad (x\in U)\ ,\tag{1}$$
donde ahora la ambigüedad en la expresión reside en el factor de $\sqrt{\mathstrut x}$. La función
$$f(x)=\sum_{k\geq0} a_k x^k,\quad a_0=1,$$
satisface
$$x\>\bigl(f(x)\big)^2=\log(1+x)\qquad(x\in U)\ ,$$
o
$$\sum_{r\geq0}\left(\sum_{k+l=r} a_k a_l\right) x^{r+1}=\sum_{r\geq0}{(-1)^r\over r+1}x^{r+1}\qquad(x\in U)\ .$$
Esto implica
$$2a_0a_r +\sum_{k=1}^{r-1} a_k a_{r-k} ={(-1)^r\over r+1}\qquad(r\geq1)\ ,$$
a partir de la cual obtenemos la siguiente fórmula de recursión para los coeficientes $a_r\ $:
$$a_r={1\over2}\left({(-1)^r\over r+1}-\sum_{k=1}^{r-1} a_k a_{r-k}\right)\qquad(r\geq1)\ .$$
El taponamiento de los primeros a $a_r$ a $(1)$ con lo que tenemos
$$\sqrt{\log(1+x)}=\sqrt{\mathstrut x}\ \left(1-{1\over4}x+{13\over96} x^2-{35\over 384}x^3+{6271\over 92\,160} x^4-\ldots\right)\quad.$$
