Es $\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ plana por $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$?

Question

Es $\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ plana por $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$? Las definiciones no parece ayudar. Una idea de cómo mirar a estos problemas sería de gran ayuda.

Answer 1

$\mathbb Z[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ es de libre generado como un $\mathbb Z[\sqrt{2}]$-módulo (ejercicio). Libre módulos son planas. QED

Answer 2

Tengo una forma de decidir esto, aunque no me gusta mucho.

El anillo de $\mathbb Z[\sqrt2]$ es un dominio de Dedekind - es el anillo de enteros de $\mathbb Q(\sqrt2)$. Un módulo a través de un dominio de Dedekind es plano si y sólo si es de torsiones. Por qué? Bien, alisado, se puede comprobar en cada una de las prime, cada localización de un dominio de Dedekind en un prime es un PID, y el resultado es cierto para los PIDs.