Interpretación geométrica de la mediana de la fórmula $m_c = \sqrt{\frac{2(a^2 + b^2)- c^2}{4}}$$a + b < c$?

Question

Para un triángulo con las longitudes de los lados $a, b, c$, la longitud de la mediana de la $c$$m_c = \sqrt{\frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}}$.

Si $a + b < c$, la configuración no es, obviamente, un triángulo más. Sin embargo, hay valores de $a, b, c$ $a + b < c$ (por ejemplo,$a = 7, b = 2, c = 10$), donde la raíz está siendo positiva. Es allí cualquier interpretación geométrica para que?

Answer 1

Si $a+b>c$, entonces podemos dibujar círculos de radio $a$ $b$ sobre los extremos del segmento $\overline{AB}$ de la longitud de la $c$, y estos círculos se reúnen en distintos puntos de $C$$C^\prime$. El círculo en torno a $M$, el punto medio $\overline{AB}$, con un radio de $m:=\frac12 \sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$, cumple con los puntos, así. Por lo tanto, $\overleftrightarrow{CC^\prime}$ es una secante común de la línea, y por lo tanto también el común "radical eje" o "power line", de los círculos. (Al $a+b=c$, podemos reemplazar el "común de la secante de la línea" con la "tangente común a la línea".) Esto nos permite caracterizar la longitud de $m$ así:

El círculo coaxal con $\bigcirc A$$\bigcirc B$, centrado en el punto medio de la $\overline{AB}$, tiene radio de $m$.

(El diagrama ilustra la propiedad de que, para cualquier punto de $P$ sobre el eje radical de una pareja (o familia) de los círculos, la tangente segmentos de $P$ a cada uno de esos círculos son todos congruentes.)

Como resulta, la misma descripción tiene por $a+b<c$.

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He aquí una rápida prueba de coordenadas (válido si $a$, $b$, $c$ hacer un triángulo o no) que aprovecha una conveniente propiedad de radicales eje de ecuaciones.

Tomar $A = (-c/2, 0)$, $B = (c/2, 0)$, $M= (0,0)$. Entonces las ecuaciones de los círculos que se $$\bigcirc Un: \left(x + \frac{c}{2}\right)^2 + y^2 = a^2 \qquad \bigcirc B: \left(x - \frac{c}{2}\right)^2 + y^2 = b^2 \qquad \bigcirc C: x^2 + y^2 = m^2$$

Ahora, la ecuación del eje radical de dos circunferencias es obtenido por la eliminación de la $x^2$ (e $y^2$) de los términos de las ecuaciones de los círculos. Con nuestras ecuaciones, una simple resta: $$\begin{align} \text{radical axis of %#%#% and %#%#%}\; &\;:\; \bigcirc{A} - \bigcirc{B}\;\quad\to\quad \phantom{-}2cx = a^2 - b^2 \\[4pt] \text{radical axis of %#%#% and %#%#%} &\;:\; \bigcirc{A} - \bigcirc{M} \quad\to\quad \phantom{-2}cx = a^2 - m^2 - \frac{c^2}{4} \\[4pt] \text{radical axis of %#%#% and %#%#%} &\;:\; \bigcirc{B} - \bigcirc{M} \quad\to\quad \;-cx = b^2 - m^2 - \frac{c^2}{4} \end{align}$$

Estos tres (vertical) de las líneas coinciden precisamente cuando $\bigcirc{A}$$

$\bigcirc{B}$

Answer 2

Para la mediana, lo que necesitamos no es sólo $m_c\ge0$. En realidad debemos $\displaystyle m_c\ge\frac{|a-b|}{2}$.

Al $a=7$ y $b=2$, $\displaystyle \frac{|a-b|}{2}=\frac{5}{2}$.

Ahora $\displaystyle \sqrt{\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}<\frac{5}{2}$.