Tenemos $(G/H)\times H \cong G$ para los grupos en general?

Question

Después de algunos pensaron que empecé a sospechar $(G/H)\times H \cong G$, por lo que traté de construir un isomorfismo con la mano. Yo me vine con $\varphi: (gH, h) \mapsto gh$ que salió a trabajar proporcionado $G$ es abelian. Yo no puedo pensar en nada si $G$ no abelian, pero estoy bastante convencido de que es cierto. ¿De qué otra manera puede uno probar isomorfismo? (quizás más importante es esto realmente cierto; por supuesto, mi dificultad sería más fácil de explicar si esto es falso!)

Edit: Contorno de mi "prueba":

$\varphi((gH,h))(fH,k)) = \varphi((gH,h))\varphi((fH,k)) = ghfk$ $\varphi((gH,h)(fH,k)) = \varphi((gfH,hk)) = gfhk$ . Por lo tanto $\varphi$ es multiplicativo iff $G$ abelian.

Siguiente, $(gH,h)^{-1} = (g^{-1}H, h^{-1})$, lo $\varphi((gH,h)^{-1}) = \varphi((g^{-1}H, h^{-1})) = g^{-1}h^{-1} = (hg)^{-1} = (gh)^{-1} = \varphi((gH,h))^{-1}$. Este nuevo invocado $G$ abelian, y muestra que $\varphi$ es un homomorphism.

Ahora$\varphi(gH,h) = 1 \iff g=1$$h=1$; por lo $\ker(\varphi)=(H,1)$ $\varphi$ es inyectiva.

Por último, $\varphi(gH,1)\mapsto g$ es un surjection en $G-H$ $\varphi(H,h)\mapsto h$ es un surjection en $H$. Por tanto, la imagen de $\varphi$ $G-H \cup H = G$

Esta es la razón por la que creo que tengo un isomorfismo; yo estaría agradecido si usted podría señalar sus errores!

Answer 1

Lo que dices que demostrado que no es cierto ( porque el mapa no está bien definido). Conjunto $G=\mathbb{Z}_4$,$H=\{0,2\}$. $G\not\cong (G/H)\times H$. Esto es debido a que $G$ tiene un elemento de orden $4$, mientras que $(G/H)\times H$ realidad es isomorfo t0 $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ que no tiene ningún elemento de orden $4$.

Por lo tanto, $(G/H)\times H \cong G$ no es cierto para todos los abelian grupos.

Answer 2

La afirmación no es verdadera.

Considere la posibilidad de $G=\mathbb{Z}$, $H=2\mathbb{Z}$.

$\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}\times\mathbb{2Z} \neq \mathbb{Z}$ desde el grupo de la izquierda ha de torsión (un elemento distinto de cero de orden finito).

Answer 3

El problema con la prueba de ello es que $\phi : G/H \times H \rightarrow G$ no está bien definida por el mapa. Si establece $\phi(gH,h) = gh$, entonces usted debe comprobar que los si $gH = g'H$,$\phi(gH,h) = \phi(g'H,h)$, es decir,$gh = g'h$. Pero es fácil ver que esto puede ser falso en general.

Por ejemplo, el uso de Seth ejemplo, supongamos $G = \mathbb{Z}$$H = 2 \mathbb{Z}$. Luego de tomar $g = 0, g' = 2$, $0 + H = 2 + H$, pero (tomando $h = 0$), $0 + 0 \neq 2 + 0$.

Answer 4

Aquí está un ejemplo con no abelian grupos. Deje $G=S_3$ y deje $H=A_3$, siendo el último el de permutaciones impares. A continuación, $$G/H \times H \approx \mathbb{Z}/2 \times A_3 \approx \mathbb Z/2 \times \mathbb Z/3$$

Pero esto no puede suceder, como $S_3$ no es abelian.