Dejemos que $S^2$ sea una esfera incrustada en un $3$ -manifold $M^3$ tal que $[S^2]$ es trivial en $\pi_2(M)$ . ¿Podemos encontrar un disco incrustado $D^3$ en $M$ tal que $\partial D^3=S^2$ ?
Dejemos que $M$ sea un lugar cerrado $n$ -manifiesto, $n>2$ . Supongamos que $S = S^{n-1} \hookrightarrow M$ es una esfera incrustada (localmente plana) y nula-homotópica. Entonces, como es nula-homóloga, debe separar $M$ en dos partes, de modo que $M = M_1 \cup_S M_2$ . Para demostrarlo, si $S$ está incrustado suavemente, se puede observar que si $S$ no se separó $M$ eligiendo puntos que localmente parecen estar en "lados opuestos" de $S$ y escogiendo un camino de uno a otro en su complemento, para luego unirlo con el camino que interseca $S$ una vez transversalmente, nos da una curva que interseca $S$ precisamente una vez, por lo que tiene un número de intersección mod 2 no nulo con $S$ Por lo tanto $S$ es homológicamente no trivial. En general, aún asumiendo que $S$ es localmente plana, tenemos una vecindad tubular y podemos aplicar la La dualidad de Alexander a su complemento.
Reclamación : O bien $M_1$ o $M_2$ tiene grupo fundamental trivial.
Supongamos que no. Entonces $\pi_1(M) = \pi_1(M_1) * \pi_1(M_2)$ es infinito. Pase a la cubierta universal $\tilde M$ y levantar $S$ a ella; de nuevo $S$ desconecta $\tilde M$ , digamos que en dos trozos $N_1$ y $N_2$ . Ambos $N_i$ son no compactos.
Lema : dejar $N$ sea una zona no compacta $N$ -con límite $S^{n-1}$ . Entonces la inclusión $S^{n-1} \hookrightarrow N$ induce una inyección en la homología.
La secuencia exacta larga en homología relativa da la exactitud de $H_n(N,S) \to H_{n-1}(S) \to H_{n-1}(N)$ . Porque $N$ es no compacto, $H_n(N,S) = 0$ y de ahí el lema.
Corolario : La inclusión $S \hookrightarrow \tilde M$ induce una inyección en la homología.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $H_n(\tilde M) = 0$ (no compacidad). La secuencia de Mayer-Vietoris implica que el núcleo del mapa $H_{n-1}(N_1) \oplus H_{n-1}(N_2) \to H_{n-1}(\tilde M)$ es generado por $([i_1(S)], [i_2(S)])$ y el lema anterior implica que ambas clases de homología son distintas de cero. Así que $[S] \in H_{n-1}(\tilde M)$ que es la imagen de $([i_1(S)],0)$ en la secuencia Mayer-Vietoris, es distinto de cero.
Si $S$ era nulo-homotópico en $M$ podríamos elevar el disco que realiza esta homotecia nula a $\tilde M$ y por lo tanto sería nulo-homólogo. Esto da una contradicción, demostrando la afirmación.
Esto demuestra el resultado deseado en el caso de los 3 manifolds; ya que si $M_1$ es una variedad compacta con límite esférico y grupo fundamental trivial, podemos tapar su límite con un disco para obtener una bola 3 por la conjetura de Poincare. Eliminando esto de nuevo nos muestra $M_1$ era una bola 3 en sí misma.
Volveré a hablar de esto mañana. Si alguien más quiere alimento para el pensamiento, acabo de publicar este respuesta potencialmente útil. Incluso si la respuesta en sí no es útil aquí la idea podría serlo.
Las ideas que utilicé para la respuesta enlazada inspiraron la nueva, aunque no se utiliza directamente.
La misma prueba puede aplicarse al caso en que $M$ es no compacto o inorientable. Resulta que la afirmación es equivalente a la conjetura de Poincare.
EDITAR : Esta respuesta parece reprobar alrededor de la mitad de esta nota de Danny Ruberman con un poco más de detalle. Después de probar los resultados de abajo, Ruberman proporciona colectores que hacer satisfacen estos requisitos, de manera que la esfera de la suma conectada es nula-homotópica - pero ninguno de los lados es una bola. La construcción, aproximadamente, consiste en tomar los mapas $S^n \to M_1$ y $S^n \to M_2$ de grado positivo -que él demuestra que son posibles- y "conectarlas" en un sentido apropiado para obtener un mapa $B^n \to M_1 \# M_2$ con $\partial B^n$ mapeo a la esfera de la suma conectada. (Es una construcción divertida de leer.) Un ejemplo explícito es $(SU(3)/SO(3)) \# (SU(3)/SO(3))$ .
$\require{AMScd}$ Se puede decir más que en la primera respuesta. De nuevo $M$ es un $n$ -con una esfera nula-homotópica incrustada de dimensión $n-1$ . En primer lugar, dejemos que $S$ sea la esfera incrustada, realizando $M$ como una suma conectada $M_1 \# M_2$ . (He cambiado un poco la notación respecto a lo que hacía antes). Supongamos $S$ es nulo-homotópico. Entonces obtenemos un mapa $f: D^n \to M$ realizando esta homotopía nula; proyectando sobre $M_1$ y $M_2$ obtenemos mapas $f_i: S^n \to M_i$ . Queremos controlar los grados de estos mapas. Desde el mapa $(M_1 \# M_2, S) \to (M_1 \vee M_2, *)$ dado al colapsar la esfera obtenemos un diagrama conmutativo
$$\begin{CD} H_n(M) @>>> H_n(M,S) @>>> H_{n-1}(S) \\ @VVV @VVV @VVV\\ H_n(M_1) \oplus H_n(M_2) @>\cong>> H_n(M_1) \oplus H_n(M_2) @>>> 0\\ \end{CD}$$
El segundo mapa vertical es un isomorfismo; el primer mapa envía $[M]$ a $([M_1],[M_2])$ . Así, podemos identificar que en $H_{n-1}(S)$ , $\partial[M_i] \neq 0$ y $\partial[M_1] + \partial [M_2] = 0.$ En efecto, $\partial [M_1] = 1$ porque el mapa $H_{n-1}(S) \to H_{n-1}(M)$ es cero. Ahora mirando el mapa inducido $H_n(D^n,S) \to H_n(M,S)$ y el colapso $S$ (que denota el generador de $H_n(S^n)$ por $x$ ) podemos identificar la imagen del generador de $H_n(D^n,S)$ en $H_n(M,S)$ con $(f_1)_*(x) + (f_2)_*(x)$ es decir, con $(\deg f_1)[M_1] + (\deg f_2)[M_2]$ . Siguiendo las dos direcciones diferentes de
$$\begin{CD} H_n(D^n,S) @>>> H_{n-1}(S) \\ @VVV @VVV\\ H_n(M,S) @>>> H_{n-1}(S)\end{CD}$$
vemos que $\deg f_1 - \deg f_2 = 1$ .
Ahora usando el emparejamiento dado por la dualidad de Poincare y el mapa inducido $H^*(M_i) \to H^*(S^n)$ vemos que si $f_i: S^n \to M_i$ tiene un grado distinto de cero, $H^*(M_i)$ debe ser una esfera de homología racional. Si uno de los mapas tiene grado cero, el otro tiene grado $\pm 1$ y, por tanto, por el mismo argumento con $\Bbb Z/p$ nos damos cuenta de que $H^*(M_i) \cong H^*(S^n)$ . Debido a que los factores del mapa a través de la cubierta universal de $M_i$ pero el grado es uno, $\pi_1(M_i) = 0$ y por lo tanto por Whitehead $M_i$ es equivalente en homotopía a $S^n$ y por la conjetura topológica de Poincare $M_i$ es homeomorfo a $S^n$ . Así, $S$ se ha atado un balón en ese lado.
Por lo tanto, si $S$ hace una pelota en ni lado, el grado de ambos $f_i$ son distintos de cero y, por tanto, ambos $M_i$ s son esferas de homología racional. Uno de ellos tiene que ser simplemente conectado por mi primera respuesta.
Dado que las 4 esferas de homología racional simplemente conectadas son 4 esferas, esto más el argumento original implica el resultado deseado para los 4 manifolds. No sé todavía si hay un contraejemplo para los 5-manifolds.
Pasé mucho tiempo pensando en los grupos de homotopía relativa para tratar de demostrar que porque $S$ es no nulo-homotópico en cada lado, y estamos tomando la unión a lo largo de $S$ no puede ser nulo-homotópico en el conjunto. Estoy bastante seguro de que no hay nada que ganar con ese enfoque, por desgracia. Para los que estén pensando en ello, ni siquiera estoy seguro de que esto sea cierto en dimensiones superiores. Tal vez se pueda obtener un contraejemplo tomando la suma conectada de esferas de homología racional simplemente conectadas, que empiezan a existir en la dimensión 5.
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Esto es un corolario de la conjetura de Poincaré.
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Mi segunda respuesta ha sido actualizada con un enlace a un artículo que da ejemplos de variedades de dimensión $n \geq 5$ que son sumas conectadas no triviales, con esfera de suma conectada nula-homotópica.