Irreductibilidad y división de campos

Question

Muestran que, en cualquier campo de $F$, el polinomio $x^3-3x+1$ es irreducible o se divide en factores lineales.

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Editado:

Este es mi intento: Vamos a $f(x)=x^3-3x+1$. Deje $a_1,a_2,a_3$ ser las raíces de $f$. Supongamos char $F\neq 2,3$. Supongamos también que $f$ no es ni irreductible ni divide en $F$. A continuación, $f$ es reducible lo que implica que $a_1 \in F$. es decir, $f(x)=(x-a_1)g(x)$ donde $g(x)\in F[x]$ es irreductible con deg $g=2$. Deje $K$ ser la división de campo de la $g$. El $K$ es de Galois sobre $F$. Así que si $\sigma \in $ Aut ($K/F$), $\sigma (a_1)=a_1$ desde $\sigma $ corrige $F$$a_1 \in F$. Desde $\sigma$ permutes las raíces de $f$, WLOG supongamos $\sigma (a_2)=a_3$. Entonces
$\sigma(\triangle) = \sigma((a_1-a_2)(a_1-a_3)(a_2-a_3))=-\triangle$.

Pero $\triangle^2=D(f)=81$, lo $\triangle = \pm 9 \in F$, lo $\triangle \in F$. Por lo tanto, $9=-9$ $\implies 1=-1 \implies$ char $F =2$ lo cual es una contradicción. Por lo $f$ es irreducible o se divide en $F$.

El próximo supongamos char $F=2$. Bueno, yo no estoy exactamente seguro de lo que puedo decir acerca de $f$.

Me gustaría saber si mi planteamiento es correcto y qué hacer en el segundo caso. Gracias.

AÑADIÓ:
Si char$F=2$,$f=x^3+x+1$. Supongamos $b$ es una raíz de $f$. A continuación, $b^2 $ es también una raíz, ya que la $f(b^2)=(b^2)^3+b^2+1=(b+1)^2+b^2+1=2b^2+2=0$. Es suficiente para concluir que el $f$ se divide?

Answer 1

Me gusta tu enfoque, no es que yo hubiera pensado. He aquí una idea que parece funcionar, excepto cuando la característica de F es 3.

Si $x$ satisface $x^3 - 3x + 1 = 0$, entonces también lo hace $1 - \frac{1}{x}$. Claramente cero no es una raíz del polinomio, por lo que esto tiene sentido. También si $x = 1 - \frac{1}{x}$, $x$ satisfaga la ecuación de $x^2 - x + 1 = 0$, y se toma en combinación con el polinomio cúbico anterior, podríamos inferir $3 = 0$.

Así, excepto para la característica 3, la fórmula $1 - \frac{1}{x}$ resulta cíclicamente permutar las tres raíces del polinomio cúbico. Por lo tanto el polinomio cualquiera de las divisiones en un campo o de F es irreducible.

Añadido: Arturo ha clavado la característica 3 caso.

Answer 2

Hay un ligero problema con tu argumento: de $9=-9$ sólo se puede concluir $1=-1$ si $3$ es invertible. Lo que si $\mathrm{char}(F) = 3$? Si lo desea, puede empezar por la postulación de que $\mathrm{char}(F)\neq 2,3$.

(Hay una errata en la cuarta frase: "$f$ irreductible" debe ser", a Continuación, $f$ reducible...")

Así, usted necesita para tratar con $\mathrm{char}(F) = 2$ e con $\mathrm{char}(F) = 3$. Si $\mathrm{char}(F) = 3$,$f(x) = x^3+1 = (x+1)^3$, así que no hay nada que hacer en ese caso.

¿Qué acerca de la $\mathrm{char}(F)=2$? Su polinomio es sólo $f(x)=x^3+x+1$. Supongamos $\alpha$ es una raíz. Trate de ver si se puede construir algunos otros raíz del polinomio usando $\alpha$. Por ejemplo, $\alpha+1$ no trabaja, porque tiene $$(\alpha+1)^3 + (\alpha+1)+1 = \alpha^3+\alpha^2+\alpha+1+\alpha +1 = \alpha^2+\alpha+1 = \alpha^3+\alpha^2 = \alpha^2(\alpha+1)=\alpha^5\neq 0$$ pero tal vez alguna otra expresión que implique $\alpha$ va a hacer?

Añadido. Así pues, ahora usted tiene que si $\mathrm{char}(F)=2$, e $b$ es una raíz de $f(x)$, entonces también lo es $b^2$.

Puede $b=b^2$? Esto es, puede simplemente obtener el mismo root de nuevo? Si $b=b^2$,$b^2-b=0$, lo $b(b-1)=0$. Puesto que usted está en un campo, ya sea a $b=0$ o $b=1$. Pero ni $b=0$ ni $b=1$ son raíces de $f(x)$. Lo que significa que si $b$ es una raíz de $f$,$b\neq b^2$, y b^2$ is also a root of $f(x)$.

Así que si $f(x)$ tiene al menos una raíz en $F$, entonces tiene al menos dos raíces en $F$ (es decir, $b$$b^2$). Lo que significa que...

Answer 3

Aquí hay una manera de hacerlo usando casi ninguna teoría, jugando con el álgebra.

Supongamos que el polinomio tiene una raíz $a$$F$. Si usted divide $x^3 - 3x + 1$ $x-a$ el cociente es el polinomio $$ x^2 + ax + a^2 - 3 $$ en $F(a)[x]$. A partir de la fórmula cuadrática (suponiendo característicos $\neq 2$ aquí, por el momento, supongo) usted puede ver que esto tiene sus raíces en $F(a)$ si y sólo si $12-3a^2$ es un cuadrado en $F(a)$.

Usted puede saber que cualquier elemento en $F(a)$ puede ser escrita en la forma $pa^2 + qa + r$ algunos $p,q,r$$F$. La idea es la plaza de esta expresión simbólica, volver a escribir como un polinomio en $a$ de grado en la mayoría de las $2$, y luego ver si los valores de $p, q, r$ $F$ se puede encontrar esta haciendo igual a $-3a^2 + 0a + 12$.

El uso de la identidad de $a^3 = 3a - 1$ (a partir del hecho de que $a$ es una raíz del polinomio) y $a^4 = 3a^2 - a$ (a partir de la multiplicación de la identidad anterior por $a$) uno se $$ (pa^2 + qa + r)^2 = (3p^2 + 2pr + q^2)^2 + (-p^2 + 2qr + 6pq) + (r^2 - 2pq). $$ Así que el objetivo es encontrar a $p,q,r$ satisfactorio $3p^2 + 2pr + q^2 = -3$, $-p^2 + 2qr + 6pq = 0$, y $r^2 - 2pq = 12$. Puesto que no sabemos nada acerca de $F$, podemos mirar con optimismo para estos $p, q, r$$\mathbb{Z}$. Este sistema de $3$ ecuaciones polinómicas en $3$ entero incógnitas pueden ser alimentados a software, y uno encuentra que, por ejemplo,$p = 2$, $q = 1$, y $r = -4$ dar una solución (no importa lo $F$!). Así que las raíces de $x^3 - 3x + 1$ son todos en $F(a)$, y realmente podemos escribir las fórmulas para ellos: $a$, $\frac{-a + (2a^2 + a -4)}{2}$, y $\frac{-a - (2a^2 + a - 4)}{2}$, lo que simplifica para $a$, $a^2 - 2$, $-a^2 - a + 2$.

Aunque asumimos característicos $\neq 2$ el uso de la fórmula cuadrática, podemos comprobar inmediatamente que la identidad individual $a^3 - 3a + 1 = 0$ es de hecho lo suficiente para garantizar que $$ (x-a)(x - (a^2 - 2)) (x - (-a^2 - a + 2)) = x^3 - 3x + 1. $$ [En detalle: la expansión, el coeficiente de $x^3$ $1$ sobre la nariz, el coeficiente de $x^2$ $0$ sobre la nariz, y el coeficiente de $x$ es un polinomio en a $a$ que, cuando se divide por $a^3 - 3a + 1$, tiene un resto de $-3$; del mismo modo el término constante es un polinomio en a $a$ que, cuando se divide por $a^3 - 3a + 1$, resto de $1$.]

Así que si $x^3 -3x + 1$ tiene una raíz en $F$, se divide en $F$ para la razón por la que podemos escribir explícitamente las otras dos raíces de polinomios, en el que ya tenemos.