Intentando entender la ecuación de Laplace

Question

Yo estoy luchando aquí, así que por favor disculpen si estoy escribiendo tonterías.

Entiendo que el potencial gravitacional de campo, un campo escalar, es dado por $$\phi=\frac{-Gm}{r}$$

donde $\phi$ es la energía potencial gravitacional de una unidad de masa en un campo gravitatorio $g$ . El gradiente de este es un campo de vectores)

$$g=-\nabla\phi=-\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)$$

Y la divergencia de este campo vectorial es $$\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^{2}\phi=4\pi G\rho$$ y se llama ecuación de Poisson. Si el punto está fuera de la misa, $$\rho=0$$ y de Poisson ecuación se convierte en

$$\nabla\cdot\nabla\phi=0$$

Mi pregunta es, ¿cómo puedo expresar $\phi=\frac{-Gm}{r}$ como una función de la $x,y,z$ para que yo pueda terminar con $\nabla\cdot\nabla\phi=0$ en el espacio vacío $r\neq 0$? Yo habría pensado que podría escribir $$\phi=\frac{-Gm}{r}=\frac{-Gm}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$$ pero cuando trato de calcular el $\nabla\cdot\nabla\phi$ a partir de esto, no me da cero para $r\neq 0$. Estoy confundido.

Answer 1

Queremos calcular el Laplaciano de

ps

Esto significa aplicar el operador$$ \phi=\frac{-Gm}{r}=\frac{-Gm}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} $ dos veces.

Una vez:

ps

ps

ps

Dos veces:

ps

ps

ps

porque las x, y's yz en la parte superior se cancelan. En realidad, es distinto de cero en$\nabla$ porque no se puede dividir por cero.