Pruebalo $\mathbb{Q}[\sqrt[4](7), i] = \mathbb{Q}[\sqrt[4](7)+ i]$

Question

Quiero demostrar que$\mathbb{Q}[\sqrt[4](7), i] = \mathbb{Q}[\sqrt[4](7)+ i]$.

Por supuesto,$"\supseteq"$ es claro. ¿Tienes algún indicio de cómo puedo mostrar que$\sqrt[4](7), i \in \mathbb{Q}[\sqrt[4](7)+ i]$

Answer 1

Dejar $f(x) = x^2+1$. Ahora considere$g(x) = f(\sqrt[4]{7} + i - x) = (\sqrt[4]{7} + i - x)^2 + 1 \in \mathbb{Q}(\sqrt[4]{7}+i)[x]$. Es obvio que$\sqrt[4]{7}$ es la raíz de esto. Según Vieta's Formula, la segunda raíz es$\sqrt[4]{7} + 2i$, que no es una raíz de$x^4 - 7$, por lo que el polinomio mínimo de$\sqrt[4]7$ sobre$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7}+i)$ es$x - \sqrt[4]{7}$, entonces$\sqrt[4]7 \in \mathbb{Q}(\sqrt[4]{7}+i)$.

Entonces trivialmente$i \in \mathbb{Q}(\sqrt[4]{7}+i)$, entonces$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7},i) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[4]{7}+i)$

Answer 2

Aquí una forma mucho más peatonal argumento de que $\Bbb Q(\sqrt[4]7,i)\subset\Bbb Q(\sqrt[4]7+i)$ que la de @Stefan4024, pero usted puede encontrar el método más fácilmente generalizada.

Usted ver que $x^4-7$ $\Bbb Q(i)$- irreductible, por Eisenstein. Esto demuestra que $[\Bbb Q(\sqrt[4]7,i):\Bbb Q]=8$. Usted sólo necesita mostrar que $\sqrt[4]7+i$ satisface una irreductible $\Bbb Q$-polinomio de grado ocho, para mostrar que $\Bbb Q(\sqrt[4]7+i)$ es también una extensión de grado ocho sobre la $\Bbb Q$.

Bueno, ya $g(x)=x^4-7$ es irreducible sobre $\Bbb Q(i)$, por lo que es $h(x)=g(x-i)=(x-i)^4-7$, y este polinomio tiene $\sqrt[4]7+i$ como una raíz. El conjugado polinomio $\bar h(x)=(x+i)^4-7$ es similar a $\Bbb Q(i)$-irreductible. Ahora $H(x)=h(x)\bar h(x)\in\Bbb Q[x]$ $\Bbb Q$- polinomio de grado ocho, ha $\sqrt[4]7+i$ como root, y yo sólo necesitan demostrar que $H$ $\Bbb Q$- irreductible.

En efecto, si un monic $k(x)\in\Bbb Q[x]$ divide $H$ adecuadamente, entonces por supuesto que es un divisor de la $\Bbb Q(i)$-polinomio $h\bar h$, que es el de la factorización de $H$ a $\Bbb Q(i)$-irreducibles. Por lo tanto $k=h$ o $k=\bar h$, ambos de los cuales son imposibles, porque $k$ $\Bbb Q$- coeficientes, mientras que $h,\bar h$ no. Así la unicidad de la factorización en $\Bbb Q(i)[x]$ nos da la irreductibilidad de $H$ $\Bbb Q$- polinomio.

Answer 3

En el espíritu de la teoría de Galois, las cosas son más "visibles" cuando se trate (directa o indirectamente) con los grupos en lugar de con polinomios. El campo $K=\mathbf Q(i, \sqrt [4] 7)$ es, obviamente, la división de campo de la polinomio $X^4-7$, que es irreducible sobre $\mathbf Q$ por el criterio de Eisenstein. Por lo tanto $K/\mathbf Q$ es de galois de grado $8$ porque $i$ no pertenecen a la real subcampo $\mathbf Q (\sqrt [4] 7)$. Considerar el ascendente de la cadena de sucesivas extensiones cuadráticas $\mathbf Q < \mathbf Q(i) < \mathbf Q(i,\sqrt 7) < K$. Tenga en cuenta que $ \mathbf Q(i+\sqrt 7)=\mathbf Q(i,\sqrt 7)$ : es evidente que existe una inclusión, y $i+\sqrt 7$ no pertenecen a $\mathbf Q(i)$ porque $\sqrt 7$ es real, no racional. De forma análoga, $\mathbf Q(i+ \sqrt [4] 7)=K$: es evidente que existe una inclusión, y $i+ \sqrt [4] 7$ no pertenecen a $\mathbf Q(i,\sqrt 7)$ porque $\sqrt [4] 7 - \sqrt 7$ es real, no en $\mathbf Q(\sqrt 7)$ (los tres cuadrática subcampos de $\mathbf Q(i,\sqrt 7)$$\mathbf Q(\sqrt 7),\mathbf Q(i), \mathbf Q(i\sqrt 7)$).

Galois grupos jugaron el papel de "éminence grise" en todo el argumento anterior : en realidad, es fácil comprobar que $Gal(K/\mathbf Q)$ es el diedro grupo $D_8$, y lo que hicimos fue simplemente seguir una determinada resolución de $D_8$ (en el sentido de solucionable grupos).