aquí está mi pregunta: denotemos$F$ el siguiente conjunto $$ F = \ left \ {f \ in \ mathcal {C} ^ 0 ([0,1], \ mathbb {C}) / \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ *, \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ left (\ dfrac {k} {n} \ right) = 0 \ right \}. $$$F$ contiene la línea abarcada por$f_0 : x \in [0,1] \mapsto \sin (2 \pi x)$ (pero no$\cos$ debido a$n=1$), pero ¿es más grande? Espero que no, pero puedo estar equivocado. Gracias por adelantado.
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De hecho, se puede probar que $$S^\prime=\left\{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{C}) \mid \forall x \in [0,1/2), f(1/2+x) = -f(1/2-x) \text{ and } f(0)=0 \right\}$$
se incluye en $F$.
La prueba es una consecuencia del hecho de que para $f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{C})$ satisfactoria para todos $x \in [0,1/2)$, $f(1/2+x) = -f(1/2-x)$, usted tiene $$\sum_{k=0}^{n-1}f \left( \dfrac{k}{n} \right) =f(0).$$
En particular, la función de $$g(x) = \begin{cases} x & 0 \le x < 1/4 \\ -x + 1/2 & 1/4 \le x < 3/4 \\ x-1 & 3/4 \le x \le 1 \end{casos}$$ pertenece a $S^\prime$. Por lo tanto, $S^\prime$ es mucho mayor que $\operatorname{span}\{\sin(2 \pi t)\}$.
Y se puede probar que existe no trivial incluso (en $1/2$) funciones continuas pertenecientes a $F$. Véase la respuesta a Son los dos subconjuntos de a $\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ igual?
