Considere la siguiente definición alternativa de una parábola:
Dados dos puntos $F$ $O$ en el avión, la parábola tener foco $F$ y el vértice $O$ es el lugar geométrico de los puntos $P$ del plano tal que $$(FP - OF)(FP + 3 OF) = OP^2.$$
El uso de coordenadas es fácil ver que la definición es equivalente a la usual. De hecho, si nos vamos a $O = (0, 0)$, $F = (0, f)$ para algunos $f > 0$$P = (x, y)$, entonces la ecuación dada se simplifica a $x^2 = 4 f y$, que es precisamente la ecuación de la parábola tener foco $F$ y el vértice $O$ como se define generalmente.
Lo que me interesa es un geométrica prueba de que cualquier parábola satisface la anterior propiedad, que se espera debe dar una idea de por qué esa igualdad que deben tener. He intentado probarlo en dos formas:
- Como está escrito, la igualdad parece decir que una cierta rectángulo (o tal vez paralelogramo?) tiene la misma área que el cuadrado del segmento de la línea de $OP$. He notado que a $FP - OF$ es la distancia de $P$ a la línea tangente a la parábola en $O$, pero no sé qué hacer con $FP + 3 OF$.
- La igualdad puede escribirse como $$OP^2 + (2 OF)^2 = (FP + OF)^2.$$ Ahora parece como si pudiera ser comprobada mediante el teorema de Pitágoras. Pero no he sido capaz de dibujar un triángulo que tiene los lados $OP$, $2OF$ y $FP+OF$, de modo que se puede ver que de hecho es un triángulo rectángulo.
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
(Antecedentes: este problema se acercó tratando de probar una propiedad similar acerca de la cissoid de Diocles, ver esta otra pregunta de la mina. Las dos propiedades están relacionadas a través de la inversión con respecto a la unidad círculo centrado en $O$.)
