¿Por qué$\int_0^t t \, dW_s$ no es martingala?

Question

Asumiendo $W_t$ es el estándar de movimiento Browniano, a continuación, $\int_0^t t \, dW_s=tW_t$ no es una martingala desde $\mathbb{E}(tW_t \mid \mathcal{F}_s)=tW_s$. Sin embargo, por la martingala de la propiedad de Ito integral parece que $\int_0^t t \, dW_s$ debe ser una martingala...

La única explicación que se me ocurre es que el "proceso estocástico" $t$ parece no adaptarse a $\mathcal{F}_s$. Pero esto suena muy extraño, porque a $t$ es en realidad una constante, integral. Y si ese es el caso, la respuesta aquí que utiliza Ito isometría para calcular la varianza también es problemático porque no $(t-s)$ es también que no se adapten a $\mathcal{F}_s$ pero Ito isometría requiere dicha adaptación.

Answer 1

El proceso de $(t W_t)_{t \geq 0}$ es, de hecho, no es una martingala. La razón es simplemente que no se puede utilizar la martingala de la propiedad de las integrales estocásticas para deducir la martingala de la propiedad del proceso. Correctamente indica la martingala de la propiedad de las integrales estocásticas impulsado por el movimiento Browniano se lee como sigue:

Teorema Deje $f:\Omega \times [0,\infty) \to \mathbb{R}$ ser progresivamente función medible tal que $\mathbb{E}\left( \int_0^t f(s)^2 \,ds \right)<\infty$. A continuación, el proceso de $$M_t := \int_0^t f(s) \, dW_s$$ es una martingala.

Tenga en cuenta que $f$ no está permitido a depender de $t$, es decir, la instrucción no afirman que

$$N_t :=\int_0^t f(s,t) \, dW_s$$

es una martingala para cualquier progresivamente medibles y cuadrado integrable función de $f$.

Si elegimos $f(s) := s$, entonces la instrucción anterior los rendimientos que

$$M_t = \int_0^t s \, dW_s$$

es una martingala - lo cual es cierto.

También podemos optar $f(s)=t_0$ para algunos fija $t_0$; entonces nos encontramos con que

$$M_t = t_0 W_t$$

es una martingala - que también es cierto (porque $t_0$ es una constante fija).

Answer 2

No estoy seguro de si se hace referencia a $\int_0^t s d B_s$ o a $(t B_t)$. La belleza es que yo en realidad no tiene que saber porque puedo hablar de la martingala propiedades de los dos procesos simultáneamente.

Tenga en cuenta que

\begin{align} \int\limits_0^t s d B_s =t B_t - \int\limits_0^t B_s ds, \end{align}

como se puede ver fácilmente con Ito de la fórmula. De acuerdo a la teoría general citado por el saz, sabemos que $\int_0^t s d B_s $ debe ser una martingala. Mientras que el saz de los comentarios eran centró en por qué el general teoremas no se aplican, esto le da un buen argumento de por qué $(t M_t)$ no es una martingala - porque $\int_0^t B_s d s$ no es una martingala:

\begin{align*} \mathbb{E}\left[ \int\limits_0^t W_r dr \middle| \left(\int\limits_0^z W_r dr\right)_{z\in [0,s]} \right] &= \int\limits_0^s W_r dr + \underbrace{\mathbb{E}\left[ \int\limits_s^t W_r dr \right]}_{=0 \text{ by Fubini}} +(t-s)\underbrace{\mathbb{E}\left[ W_s \middle| \left(\int\limits_0^z W_r dr\right)_{z\in [0,s]} \right]}_{\neq 0 \text{ by continuity of } W_r}. \end{align*}