Problema de probabilidad de rollo de dados desconcertante

Question

Mark y Jacob se turnan para lanzar un dado justo. Mark tira primero. ¿Cuál es la probabilidad de que Mark arroje un número impar antes de que Jacob saque un$4$?

Esto simplemente me tiene perplejo ... No estoy muy familiarizado con las sumas, por lo que las respuestas simples son apreciadas

Answer 1

Podemos pensar en esto como un juego en el que Mark gana (y el juego se detiene) si le sale un número impar, y Jacob gana si sale un $4$.

Una buena manera de acercarse a este tipo de problemas es el siguiente. Deje $p$ la probabilidad de que Marca es el que gana. Lo que sucede después de un turno de cada jugador? Marcar gana inmediatamente (con una probabilidad de $\frac12$) o la Marca no gana y, a continuación, Jacob (probabilidad de $\frac12\times\frac16=\frac1{12}$), o ninguno de ellos gana (la probabilidad de $\frac5{12}$). Ahora bien, si ninguno de ellos gana en su primera vuelta, estamos de vuelta en la Marca de su turno de lanzamiento, y esta es la misma situación que empezamos, por lo que la probabilidad de Marca ganadora de aquí todavía es $p$. Así $$p=\frac12+\frac5{12}p,$$ que puede ser resuelto fácilmente por $p$.

Answer 2

Sugerencia: ¿cuál es la probabilidad de que la Marca de rodadura sólo los números pares hasta que Jacob saca un $4$, asumiendo que los rollos de la $4$ por primera vez en la $n^{th}$ probar? Y ¿cuál es la probabilidad de Jacob a la rodadura en $4$ por primera vez en la $n^{th}$ probar?

Con esto, usted debe obtener una serie convergente cuyo valor es $1-P$ donde $P$ es la probabilidad de que usted está buscando.

Más explícitamente:

• La probabilidad de Marca rolling sólo los números pares hasta que Jacob saca un 4 $(\frac{1}{2})^{n}$, suponiendo que Jacob lo hace por primera vez en el enésimo intento.

• Probabiligy de Jacob hacerlo por primera vez, sólo en el enésimo intento es $(\frac{5}{6})^{n-1}\frac{1}{6}$.

• La probabilidad de Marca rolling sólo los números pares hasta que Jacob saca un 4, por primera vez, por lo tanto, la siguiente suma (porque las posibilidades son distintos, como Jacob no puede rodar un 4 por primera vez, en el tercer y en el cuarto intento): $$ \sum_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{n}(\frac{5}{6})^{n-1}\frac{1}{6}= \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{n}(\frac{5}{6})^{n}\frac{6}{5}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{12})^{n}=\frac{1}{5}\frac{\frac{5}{12}}{1-\frac{5}{12}}=\frac{1}{7}$$

• La probabilidad de Marca rolling al menos un número impar antes de que Jacob saca un 4 $1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$.