¿Por qué no tenemos muchas geometrías no euclidianas por ahí?

Question

En el actual semestre me he tomado un curso acerca de la Geometría No Euclidiana. Durante el curso, se presentan dos tipos de geometrías no euclidianas realizados: la geometría esférica y la geometría hiperbólica. Así que hace tres geometrías distintas, junto con el familiar euclidiana.

Sin embargo, parece que no eran realmente enseña qué es exactamente una geometría - ¿cuáles son nuestras expectativas de algo que nos gusta llamar "la geometría"?

Si me pidieran que para responder a esta pregunta, yo diría que la geometría debe tener nociones de punto, línea, ángulo, distancia, longitud y área.
Pero en otro curso de Geometría Diferencial - hemos aprendido acerca de las métricas de riemann en abrir subconjuntos del plano, que dotan al conjunto con todos los mencionados conceptos (distancia de ser el infimum de las longitudes de las curvas de la conexión de dos puntos, líneas, geodesics...).
Así que, si me tomo una arbitraria métrica de riemann, y mirar las nociones geométricas induce, lo que priva a esta estructura se denomina geometría? Qué es tan especial acerca de los tres que hemos sido introducido?

Yo sería feliz si se intenta incluir la intuición y la motivación como parte de sus respuestas. Gracias!

Answer 1

Creo que el concepto clave aquí es la curvatura : https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature

La geometría euclidiana es la geometría con curvatura cero, geometría hiperbólica es la geometría con curvatura negativa, y la elíptica o la geometría esférica es la geometría con curvatura positiva.

Por supuesto, cualquier métrica de Riemann da lugar a la geométrica preguntas (comportamiento de la geodesics, etc), pero en la práctica es difícil conseguir los resultados generales en la situación en la que la curvatura no tiene signo constante (y, por supuesto, un enfoque natural es intentar descomponer dicho de Riemann colector en hiperbólico, la euclídea y esférica de las partes, la cual también explica por qué los tres son tan importantes).

Editar (demasiado largo para un comentario)

Advertencia: no soy un experto en estas cuestiones.

Creo que un poco de precaución con respecto a la interacción de Euclides los axiomas de moderno y de la geometría. Miré hacia arriba Euclides los axiomas de la wikipedia, y aquí están los dos primeros:

[Es posible]

1. "Para dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto."

2. "Para producir [ampliar] de un número finito de línea recta de forma continua en una línea recta."

La moderna definición de línea recta es la geodésica. Estas dos propiedades se satisface si y sólo si el colector es geodesically completa https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic_manifold Así que cuando la traducción de Euclides los axiomas, supongo que nos referimos a ellos para no aplicar a cualquier colector con curvatura constante, pero al menos sólo al completo. Respecto a tu pregunta en los comentarios, yo sugeriría que el Asesinato de Hopf-teorema (https://en.wikipedia.org/wiki/Killing%E2%80%93Hopf_theorem) podría ser una respuesta: sólo hay 3 completa simplemente conectado de Riemann colectores con curvatura constante.

Answer 2

Creo que la mayoría de la gente diría que un colector de Riemann es una "geometría" en algunos suficientemente amplio sentido. Lo que no es, es una geometría que puede ser fácilmente razonada acerca de axiomáticamente: en general, usted tiene que conseguir sus manos sucias con las coordenadas.

Por otro lado, con forma esférica y hiperbólico geometrías no-Euclidianas" en el sentido de que no obedecer Euclides los axiomas, pero todavía se caracterizan por algunas conjunto de axiomas, que no parece demasiado diferente de un conjunto de axiomas que caracterizan la geometría Euclidiana. Y con frecuencia (como en el título de su clase, parece), "la geometría no Euclidiana" se utiliza para referirse al estudio de tales cosas. Es decir, sería más exacto llamar "no-Euclidiana axiomático de la geometría" o alguna de esas.

Answer 3

Finalmente he encontrado una respuesta satisfactoria (en mi opinión) en el libro "Visual Análisis Complejo", así que me decidí a publicar aquí en mis propias palabras, como una respuesta para aquellos de ustedes que están interesados.

La respuesta se extiende la respuesta anterior dada aquí, que menciona la noción de curvatura. Las tres geometrías (euclidiana, shperical, hiperbólico) son únicos y diferentes de una arbitraria "la geometría de riemann", por tener la misma curvatura de gauss en cualquier punto (euclidiana: $K=0$, shperical: $K>0$, hiperbólico: $K<0$). Estas son "las geometrías de curvatura constante".
Tenga en cuenta que la curvatura gaussiana es de hecho una propiedad de la métrica de riemann y la geometría intrínseca debido a los Theorema Egregium.

La pregunta natural que surge es, ¿por qué un contant $K$ ser fundamental para disponer de un bien estructurado de la geometría. La respuesta se encuentra en otra respuesta a la pregunta de "¿qué es la geometría?".
Mi respuesta inicial, como se puede leer, "fue una estructura que se ocupa de las nociones de punto, línea, ángulo, distancia, longitud y área." Pero Felix Klein tuvo una mejor caracterización precisa: la geometría es "el estudio de las entidades que son invariantes de isometrías." [esto no es una cita.]
Tenga en cuenta que todos los conceptos que he mencionado son inculded en su definición.

Ahora, aquí es el punto principal: por Theorema Egregium, la curvatura en un punto puede ser inducida por conocer sólo la estructura geométrica cerca de ese punto. Por lo tanto, si una isometría mapas de un punto a otro, deben tener el mismo $K$.
Así, en un arbitrario geometría de riemann, el grupo de isometrías sería bastante confinados, incompleta, antinatural -, mientras que los grupos de isometrías de nuestros tres especiales geometrie tienen una mucho mejor y más natural de la estructura, produciendo una agradable y natural geométricas sturcture.

Así que, resumiendo los dos últimos párrafos de una sola frase, podemos decir que la no-euclidiana geomtries son aquellos que "tienen el mismo aspecto desde cualquier punto de vista" - esta es la clave de propiedad para su estructura natural.