¿Encontrar el valor de $A+B+C$ en la siguiente pregunta?

Question

Encontrar el valor de $A+B+C$ tal que % $S=\sum_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{1}{n^2\binom{2n}{n}}=\dfrac{A}{B}\zeta(C).$

Lo solucioné como sigue: usando la fórmula $$\sum_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{1}{n\binom{2n}{n}}=\beta(n+1,n)=\beta(n,n+1)$ $$$ S=\sum_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{1}{n}\beta(n+1,n) pues yo utilizaba la definición de la función beta para reescribir encima suma así $$S=\sum_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{1}{n}\int_{0}^{1} x^n(1-x)^{n-1}dx después de cambiar el orden de integración y suma de modifiqué otra vez arriba como

$$S=\displaystyle\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{n=\infty}\left[\dfrac{x^n(1-x)^{n-1}}{n}\right] de aquí no sé cómo proceder y relacionarla con la función zeta (no sé mucho acerca de la función zeta). Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

De manera más general, la siguiente potencia de expansión de la serie tiene (ver por ejemplo AQUÍ): para $|x|\leq 1$ $$2(\arcsin(x))^2=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}.$$ Por lo tanto, para $x=1/2$, nos encontramos con que $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}=2(\arcsin(1/2))^2=2\left(\frac{\pi}{6}\right)^2=\frac{1}{3}\zeta(2).$$ Por último, es fácil obtener el $A+B+C=1+3+2=6$.

P. S. Ver también Cómo probar por la aritmética significa que $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{((k-1)!)^2}{(2k)!} =\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$

Answer 2

La famosa identidad $$\zeta(2)=\sum_{n\geq 1}\frac{3}{n^2\binom{2n}{n}}$$ puede ser demostrado de muchas maneras: creative telescópica, análisis complejo, Lagrage la inversión teorema o polinomios de Legendre, por sólo mencionar algunos de ellos. Eche un vistazo a la sección primera de mis notas.

De auto-contenido de la prueba: $$\begin{eqnarray*}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}=\sum_{n\geq 1}\frac{(n-1)!^2}{(2n)!}&=&\sum_{n\geq 1}\frac{\Gamma(n)^2}{2n\,\Gamma(2n)}\\&=&\sum_{n\geq 1}\frac{B(n,n)}{2n}\\&=&\sum_{n\geq 1}\frac{1}{2n}\int_{0}^{1}x^{n-1}(1-x)^{n-1}\,dx\\&=&-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\log(1-x+x^2)}{x(1-x)}\,dx\end{eqnarray*}$$ y ahora es lo suficiente como para notar que $\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$ y $1-x+x^2$ es un cyclotomic polinomio, con el fin de aprovechar este lema: $$\int_{0}^{1}\frac{\log\Phi_n(x)}{x}\,dx = \frac{\zeta(2)(-1)^{\omega(n)+1}\varphi(n)\,\text{rad}(n)}{n^2}.$$