Raíces reales de funciones polinomiales

Question

Demostrar que si todas las raíces del polinomio $P(z)$ es un verdadero, entonces para cualquier $b$ las raíces del polinomio $R(z)=P(z+ib)+P(z-ib)$ también es real.

¿Sólo estoy tratando de tomar un polinomio $$P(z)=a_0+a_1z+....+a_nz^n$$ and look at $$P(z+bi)=a_0+a_1(z+bi)+...+a_n(z+bi)^n$$ and $$P(z-bi)=a_0+a_1(z-bi)+...+a_n(z-bi)^n$$ and then considering $$P(z+ib)+P(z-ib)=2a_0+2a_1z+2a_2(z^2-b^2)+...$$ we can see that every term hasn't the imaginary part, i.e all of $ i$ are missing and we get new polynomial $G$ which have coefficients as in a polynomial $P(z)$ multiplying on $b$. But how to explain that all of the roots of $R(z)$ es una verdadera?

Answer 1

Aquí es una solución parcial, basada en una idea de Martin R. Primero de todo, por reescalado podemos suponer sin pérdida de ese $b=1$ ; luego tenemos que lidiar con $Q=P(X-i)+P(X+i)$.

Martin idea era utilizar un resultado por Saddeev & Sominski, que si $\sum_{k=0}^m\gamma_k X^k$ sólo tiene raíces reales, entonces el mismo es cierto de $\sum_{k=0}^m\gamma_k P^{(k)}$ (véase la prueba aquí).

Así que tratamos de escribir $Q$ como una combinación lineal de los derivados de la $P$. Resulta que

$$ Q=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \frac{(-1)^k}{(2k)!} P^{(2k)} \etiqueta{1} $$

(la fórmula es fácil de demostrar, mediante la comprobación de que funciona para cada monomio). Así que Martin la idea funciona si el polinomio $C_n=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \frac{(-x^2)^k}{(2k)!} $ sólo tiene raíces reales. Esto es para $n\leq 5$, pero por desgracia se convierte en false para $n=6$. Tenga en cuenta que $C_n$ es la expansión de Taylor de la función coseno.

Por lo que este método sólo se muestra el resultado cuando el grado de $P$$\leq 5$.