¿Qué es lo que, intuitivamente, hace que una estructura sea "topológica"?

Question

Con la mayoría de los conceptos matemáticos que he aprendido, tengo una sensación intuitiva de lo que significan y por qué los tenemos.

La topología no es una de ellas.

Entiendo que el concepto de topología surgió del estudio de las funciones continuas. Esencialmente, según entiendo, el punto de partida históricamente fue la definición del delta del épsilon de la continuidad en las funciones reales, y los axiomas de la topología son "lo que quedó después de quitar todo lo que no se requiere para la definición de la continuidad".

Hasta ahora todo bien. Pero entonces resulta que varias estructuras matemáticas tienen topologías definidas en ellas, mientras que éstas tienen (al menos en mi opinión), absolutamente nada que ver con la continuidad, como topologías definidas en conjuntos de frases de primer orden, o en "conjuntos de estructuras matemáticas" (en la lógica matemática), o en cualquier otro tipo de conjunto que por lo que veo no tiene relación con $ \mathbb R$ .

Por supuesto que lo que todos estos tienen en común, son los axiomas de la topología. Pero aunque sé cuáles son los axiomas y puedo aplicarlos, no tengo una comprensión intuitiva de lo que todas estas diferentes estructuras tienen en común.

¿Qué significa, intuitivamente, que una estructura sea "topológica"? Intuitivamente sé lo que el conjunto de espacios vectoriales tienen en común, o el conjunto de espacios de medida. ¿Qué tiene en común, intuitivamente, el conjunto de espacios topológicos?

Answer 1

• Una topología te dice qué cosas están cerca una de la otra.

• Una topología capta la idea de proximidad de una manera cualitativa.

• Una topología te dice qué cosas están en la vecindad de una a otra (caracterizadas en puntos que están en un conjunto abierto están en la vecindad de una a otra).

• A partir de la idea de proximidad, se pueden construir definiciones de otros conceptos como:

  • Continuidad una propiedad de funciones tales que moverse a un punto cercano en el dominio siempre causará que te muevas a un punto cercano en el codominio.
  • Conectividad una propiedad de los espacios, lo que significa que cualquier forma de dividir tu espacio en vecindarios tendrá algunos vecindarios superpuestos.
  • Compactación una propiedad relacionada con ser "finito en extensión": de cualquier manera que dividas tu espacio en vecindarios, puedes encontrar un número finito de vecindarios que contienen todos los puntos del espacio.
  • Cortar y pegar que son funciones que cambian la estructura topológica de un espacio. Cortar separa puntos que antes estaban cerca, y pegar crea relaciones de cercanía que antes no existían.
  • Convergencia y límites una propiedad de las secuencias que convergen en un punto tal que en todas partes en las cercanías del punto, se puede encontrar la cola de la secuencia.

  Y así sucesivamente. Estas son definiciones topológicas porque están completamente definidas en términos de proximidad (conjuntos abiertos).

• En cuanto a los axiomas de la topología:

  Imagina tener reglas de varias longitudes, y la capacidad de probar si un objeto es aproximadamente la misma longitud que la regla. Con esta capacidad, también se pueden hacer pruebas compuestas para determinar si un objeto se ajusta a una o varias reglas, o si se ajusta a todas esas reglas simultáneamente. Si el conjunto de reglas es infinito, aún se puede probar fácilmente que coincide con al menos una de las reglas, exhibiendo una de las reglas que coinciden. Por otra parte, si el conjunto de reglas es infinito, es posible que haya que presentar una prueba infinitamente larga si se quiere demostrar que coincide con todas ellas.

  Estas reglas que coinciden aproximadamente representan la idea del topólogo de los conjuntos abiertos. En consecuencia, esta historia motiva la definición de topologías como cerradas bajo uniones arbitrarias (probando si cualquier regla aproximadamente coincide) y sólo intersecciones finitas (probando si simultáneamente todos los gobernantes coinciden aproximadamente.)

• Al capturar formalmente las ideas sobre la proximidad, las topologías nos permiten razonar sobre importantes ideas relacionadas con las formas, los agujeros, la conexión, la suavidad, los límites, etc. La definición abstracta de topologías significa que podemos razonar sobre la proximidad incluso cuando los objetos de los que estamos hablando son extremadamente no físicos, como las frases y las estructuras. Podemos exportar nuestra comprensión intuitiva de la topología para ayudar a comprender las estructuras altamente abstractas.