¿Por qué una topología discreta se llama topología discreta?

Question

No busco la definición de topología discreta dada en los libros de texto; me pregunto por qué se eligió la palabra "discreta".

El concepto de topología discreta se construye a partir de conjuntos, que se construyen a partir de objetos que son discretos. Así que, si buscamos una palabra para diferenciar los conjuntos de energía como topologías de otras topologías, y usamos el adjetivo "discreto" para lograr esa diferenciación porque el conjunto de energía está compuesto de objetos discretos--entonces, por un razonamiento similar, ¿no podríamos llamar a todas las topologías de los conjuntos "discretas".

Porque también se construyen a partir de objetos y composiciones discretas. Todas ellas. Todas las topologías.

Debe haber alguna otra razón por la que llamamos a las topologías discretas "discretas". ¿Cuál es?

Answer 1

La topología discreta tiene una estructura topológica que revela perfectamente la naturaleza discreta del conjunto de puntos subyacente

Se puede considerar que un conjunto es una colección discreta de objetos. A un conjunto dado $X$ puede asignar una variedad de topologías. Vamos a argumentar la conveniencia de llamar a esta topología particular "discreta".

1. La topología discreta es la topología más fina: no puede subdividirse más. Si se piensa en los elementos del conjunto como átomos "discretos" indivisibles, cada uno aparece como un conjunto único. De hecho, se pueden "ver" los puntos individuales en la propia topología.

   Contrasta con el indiscreto topología, que consiste únicamente en $X$ mismo y $\varnothing$ . Esta topología oculta todo lo relacionado con el número de puntos del conjunto original. Aglomera completamente los puntos del conjunto.

2. Volviendo a este punto, a veces es útil pensar que las topologías oscurecen o difuminan los puntos subyacentes del conjunto. Las topologías tienen que ver con las relaciones de proximidad: los puntos de un conjunto abierto están cerca unos de otros. Si hay dos puntos que nunca aparecen solos en un conjunto abierto, esos puntos son topológicamente indistinguibles . Desde la perspectiva de la topología, están tan cerca como para ser idénticos.

   Por lo tanto, es notable que la topología discreta no tenga puntos indistinguibles. La topología discreta es la topología que no oculta nada del conjunto subyacente. Cada punto del conjunto es claramente destacable y distinguible y recuperable como un conjunto abierto único en la topología.

3. Si se piensa en las topologías que pueden surgir de métrica la topología discreta surge de métricas como $d(x,y) = \begin{cases}0 & x=y\\1&x\neq y\end{cases}$ . Esta métrica "destroza" los puntos $X$ aislando cada una de ellas dentro de su propia bola unitaria. En un espacio así, las únicas secuencias convergentes son las que finalmente son constantes; no se pueden encontrar puntos arbitrariamente cercanos a otros puntos. Dado que los puntos están aislados de esta manera, tiene sentido llamar al espacio "discreto".

4. Toda función de un espacio discreto es automáticamente continua. Yo diría que por esta razón, la topología discreta es la que mejor "representa" $X$ en el espacio topológico. De hecho, en muchos sentidos la naturaleza de un conjunto se caracteriza por sus funciones, y la naturaleza de un espacio topológico se caracteriza por sus funciones continuas.

   Por lo tanto, tenga en cuenta que si $T$ es cualquier espacio topológico, existe una correspondencia biyectiva natural entre las funciones $f:X\rightarrow \mathsf{set}(T)$ y morfismos continuos $g:\mathsf{discrete}(X)\rightarrow T$ . Para cada función en $X$ se puede encontrar una función continua en $\mathsf{discrete}(X)$ , y dada cualquier función continua sobre $\mathsf{discrete}(X)$ se puede recuperar de forma única una función en $X$ .

   La topología discreta es la que mejor representa la estructura del conjunto $X$ que, como dices, se discretiza en puntos individuales.

5. En el álgebra abstracta, los isomorfismos describen qué estructuras son "iguales". Un isomorfismo topológico (un homeomorfismo) entre dos topologías dice que son esencialmente la misma topología. Un isomorfismo de conjuntos es simplemente una biyección; dice que los conjuntos contienen el mismo número de elementos.

   Continuando con la discusión de las funciones anteriores, dos topologías discretas son topológicamente son isomorfos (homeomorfos) si y sólo si sus conjuntos subyacentes son isomorfos como conjuntos (biyectivos). Dicho de manera informal, esto significa que el proceso de creación de topologías discretas mantiene la similitud y las diferencias entre los conjuntos subyacentes: las topologías discretas son iguales si y sólo si sus conjuntos subyacentes lo son.

   Esto es más importante aún cuando nos damos cuenta de que los conjuntos son iguales cuando tienen el mismo número de puntos. Por tanto, las topologías discretas son iguales cuando (y sólo cuando) sus conjuntos subyacentes tienen "puntos discretos" en la misma cantidad. Se pueden contar los puntos en una topología discreta mediante isomorfismos, y la topología discreta es la única topología para la que esto es posible.

Answer 2

Discreto en este sentido significa separado por una distancia significativa. En la topología habitual de los reales, cada conjunto abierto contiene muchos (incontables) puntos. En la topología discreta, cada punto es un conjunto abierto, por lo que es como los números enteros en la recta numérica: cada punto está lejos de todos los demás. Una vez hecho esto, cada subconjunto del espacio es un conjunto abierto, por lo que la topología está determinada hasta el isomorfismo por el hecho de que es discreta y el número de puntos del conjunto. Por eso se habla de "la topología discreta" de un conjunto.

Answer 3

Existe un parecido entre el conjunto de enteros que llamamos discreto y la topología discreta.

Todo punto es cerrado y todo punto es abierto en la topología discreta. Se llama discreta porque cada punto es un componente por sí mismo. cada punto es una vecindad abierta de sí mismo.