Rompecabezas: $(\Box @)+(\Box @) = (\Box\bigstar\Box$)

Question

Algunas ETs seguir una posicional del sistema de numeración, con la misma base que el número de dedos en su mano. El siguiente inscripción es toda la evidencia que tiene: $$(\Box @)+(\Box @) = \Box\bigstar\Box $$ Buscar el número de dedos.

Intento: $(xy)_b + (xy)_b = (xzx)_b$ Puede ser escrito como $2y+2bx=x+bz+b^2 x$ así que tengo que resolver para $b$ la ecuación de $b^2x+bz-2bx+x-y=0$$b\geq 2$$0\leq x,y,z<b $.

Answer 1

Se han intentado resolver más algebraicamente que la gente normal lo haría. (Yo suelo hacer la misma cosa - demasiado científico de enfoque - que en ocasiones nos hace menos eficientes en similar rompecabezas.)

Spoilers se encuentran a continuación. Por favor, deja de leer si quieres resolver usted mismo.

Cada uno de los dos 2-dígitos expresiones son más pequeños de lo $b^2$, por lo que su suma es menor que $2b^2$. Debido a que esta es una de 3 dígitos de la expresión, su primer dígito tiene que ser $1$. De modo que el cuadrado es igual a 1. Así tenemos $$(1@) + (1@) = (1\bigstar 1)$$ Tenga en cuenta que termina con un $1$ - dígitos impares pesar de que el lado izquierdo es, incluso, más de dos veces $(1@)$. Ello sólo puede ocurrir si la base de $b$ es impar.

En cualquier caso, la ecuación se simplifica a $$2(b+@) = b^2+1 + b\bigstar$$ Mueve todo lo que no negativos para el lado derecho, tenemos $$ 2@ = (b-1)^2 + b \bigstar.$$ El primer término es el cuadrado de un número entero, es decir,$4,16,36,64,\dots $$b=3,5,7,9,\dots$. Tenga en cuenta que la identidad anterior implica que $2@$ no puede ser menor que $(b-1)^2$ pero $2@<2b$ y si $b\geq 5$, $2b$ es claramente menor que $(b-1)^2$. Así que la única oportunidad de encontrar una solución es $b=3$. Entonces la ecuación se simplifica a $$ 2@ = 4+3 \bigstar .$$ El lado izquierdo es par, entonces el lado derecho también debe ser par. Por lo tanto, $\bigstar$ es $0$ o $2$. Para $\bigstar=2$ obtendríamos $@=5$ que es demasiado alto por lo que la única otra opción es $\bigstar=0$ $@=2$ que funciona: $$ (12) + (12) = (101).$$ Este trinarias ecuación se traduce en base decimal como $5+5=10$. Tenga en cuenta que los ETs tienen 3 dedos en total, así que si tienen un número par de manos, manos diferentes tienen diferentes números de los dedos, por ejemplo, de 1 dedo a la izquierda y 2 a la derecha los dedos.

Answer 2

Prefiero ocultar esta detrás de un spoiler para que otros puedan divertirse, demasiado. Si hay una manera de hacerlo, @-enviarme un mensaje, por favor.

El sólo llevan a la tercera posición, que podemos obtener en la suma de dos números de un dígito es 1. Por tanto, la `plaza'='1'. La suma es, obviamente, un número par, así como la suma termina con un '1' = dígitos impares, la base de la 'b' debe ser un número impar. El doble dígito entero $x=$ 'square @' es $<2b$. Debido al llevar a conseguir que la $2x\ge b^2$, lo $4b>b^2$, y por lo tanto $b<4$. La única alternativa para la base es así $b=3$. $y=$'@' debe satisfacer $2y>b$, porque de lo contrario el dígito menos significativo no podía desbordamiento, por lo que '@' debe ser $=2$. La única posibilidad es $$ 12_3+12_3=101_3, $$ que comprueba.