Ecuación con un gran número de raíces cuadradas anidadas:

Question

Encuentra todas las raíces reales de la ecuación: $$ \underbrace{\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}}_\text{2018 roots}=x $$

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Sé que las respuestas son 0 y 3. Lo común en esos valores es que cada vez que se aplica la raíz cuadrada, el resultado es exactamente $x$ por lo que el número de iteraciones no importa realmente.

Para aclararlo, declare la secuencia de $a_i(x)$ como: $$ a_0(x)=x;\quad a_n(x)=\sqrt{x+2a_{n-1}(x)} $$ Por lo tanto, la ecuación del problema se puede escribir como $a_{2018}(x)=x$ .

Si se pudiera demostrar que para $x$ el signo de $a_n-a_{n-1}$ es el mismo para cualquier $n$ (es decir, la secuencia es monótonamente creciente, decreciente o constante) entonces, puesto que $a_{2018}(x)=a_{0}(x)$ la secuencia debe ser constante, en particular $a_1(x)=a_0(x)$ es decir. $\sqrt{3x}=x$ de lo que se deduce que $x$ debe ser $0$ o $3$ . Y, de hecho, se puede comprobar fácilmente que la secuencia es constante para esos valores.

Para mi decepción, no puedo encontrar una manera de probar ese signo de $a_n-a_{n-1}$ es el mismo. Puede estar realmente mal.

Answer 1

Pista: $\displaystyle\;\; a_n-a_{n-1}=\sqrt{x+2a_{n-1}}-\sqrt{x+2a_{n-2}}=\frac{2(a_{n-1}-a_{n-2})}{\sqrt{x+2a_{n-1}}+\sqrt{x+2a_{n-2}}}\,$ por lo que las diferencias entre términos consecutivos tienen el mismo signo.

Answer 2

En lugar de comparar $a_n$ a $a_{n-1}$ es mucho más sencillo comparar $a_n$ a $x$ . Obsérvese que si $0<x<3$ y $y\geq x$ entonces $$\sqrt{x+2y}\geq\sqrt{3x}>\sqrt{x^2}=x.$$ De ello se deduce que si $0<x<3$ entonces $a_n(x)>x$ para todos $n>0$ (por inducción en $n$ ). Análogamente (basta con invertir todas las desigualdades), si $x>3$ entonces $a_n(x)<x$ para todos $n>0$ . Así que la única manera que podemos tener $a_n(x)=x$ para cualquier $n>0$ es si $x=3$ o $x=0$ .