$p$ un número primo de la forma $p=2^m+1$. Probar: si $(\frac{a}{p})=-1$ $a$ es una raíz primitiva módulo $p$

Question

Que $p$ sea un número impar de primer de la % de forma $p=2^m+1$.

Me gustaría su ayuda, demostrando que si $a$ es un entero tal que $(\frac{a}{p})=-1$, entonces el $a$ es una raíz primitiva módulo $p$.

Si $a$ no es raíz primitiva módulo $p$ % que $Ord_{p}(a)=t$, donde $t<p-1=2^m$ y $t|2^m$ desde $Ord_{p}(a)|p-1$. También sé que no existen soluciones a la congruencia $x^2=a(p)$, ¿cómo puedo utilizarlo para llegar a una contradicción?

Muchas gracias.

Answer 1

Ok, así sabemos por Fermat poco teorema que:

$a^{p-1} \equiv 1$ mod $p$

es decir,

$a^{2^m} \equiv 1$ mod $p$

Ahora $a$ debe tener un orden $2^i$ algunos $0\leq i\leq m$ del teorema de Lagrange.

Pero el hecho de que el símbolo de Legendre es$-1$, junto con Euler criterio nos dice que:

$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{p}\right)$ mod $p$

es decir,

$a^{2^{m-1}} \equiv -1$ mod $p$

De modo que $a$ no tienen orden de $2^i$ $0\leq i < m$ (de lo contrario esta congruencia sería falso).

Por lo tanto $a$ orden $2^m$, y por lo tanto es una raíz primitiva.

Answer 2

Aquí es un argumento fácil de contar.

El número de raíces primitivas de cualquier % prime $p$es $\varphi(\varphi(p))$. Desde $\varphi(p)=2^m$ y $\varphi(\varphi(p))=2^{m-1}$, existen raíces primitivas de #% de $2^{m-1}$% #%.

Hay solamente $p$ cuadrática no-residuos de $2^{m-1}$. Las raíces primitivas son un subconjunto de los residuos no cuadráticos.

Así que cada no residuo cuadrático de $p$ es una raíz primitiva de $p$.

Answer 3

Sea $x$ cualquier primitiva raíz y escriba $a \equiv x^k \pmod p$. Desde $a$ no es un residuo cuadrático módulo $p$, $k$ debe ser impar. Divide a la orden de $a$ $p-1 = 2^m$, que $\operatorname{ord}(a) = 2^l$ $l \leq m$. Tenemos $1 \equiv a^{2^l} \equiv x^{k2^l}$. El orden de $x$ es $2^m$, que $2^m |k2^l$. Pero es curioso, $k$ % que $2^m | 2^l \pmod p$, por lo tanto, $m=k$. De $\operatorname{ord}(a) = 2^m$ sigue que $a$ es una raíz primitiva módulo $p$.