¿Cómo probar que todos los números primos $p$ tendrá una energía $p^k$ $2$ en su representación decimal?

Question

¿Cómo probar que todos los números primos $p$ tendrá una energía $p^k$ $2$ en su representación decimal?

Este es un lema que deba demostrar un problema en que estoy trabajando. Mi intento: Supongamos por contradicción que existe un % alto, $p$tal que ninguno de sus poderes tiene un $2$ en su representación decimal. Entonces $p^k \not \in [2 \cdot 10^q, \; 3 \cdot 10^q) \; \; \forall \; p,q \in \mathbb{N}$. Esto debe ser una contradicción porque Potencias principales se colocan arbitrariamente en el sistema decimal. Alguna ayuda??? Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $a$ ser un número entero que no es una potencia de $10$. Se demuestra que para cualquier dígito $d\ne 0$, hay un $k$ tal que $a^k$ primer dígito $d$. Utilizamos más de la maquinaria que sea necesario, para hacer la generalización a otras bases de $10$ natural.

Es suficiente para mostrar que no es un exponente $e$ y una potencia entera $10^q$ $10$ tal que $$10^q \lt a^e \lt 10^q(1+\frac{1}{10}).$$ Para, a continuación, el primer dígito de $a^e$$1$, y el primer dígito de $(a^e)^{i+1}$ es el mismo que el primer dígito de $(a^e)^i$, o es uno más, excepto, posiblemente, en el caso de que el primer dígito de $(a^e)^i$$9$. Por lo tanto todos los $9$ cero dígitos ocurrir como primeros dígitos entre los poderes de la $a^e$.

Desde $a$ no es una potencia de $10$, se deduce que el $\log_{10} a$ es irracional. Queremos demostrar que existe un entero $e$ de manera tal que la parte fraccionaria de $e\log_{10} a$ entre $0$$\log_{10}\left(1+\frac{1}{10}\right)$. Que hay un $e$ es sencillo. Debido a $\log_{10} a$ es irracional, las partes fraccionarias de $n\log_{10} a$ $n$ rangos de los números enteros positivos, son densos en $[0,1]$.