Núcleo del mapa de evaluación en un anillo de series de potencia

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad y $r \in R$ un elemento nilpotente. ¿Es cierto que si $f \in R[[\epsilon]]$ satisface $f(r) = 0$ entonces $(\epsilon - r) | f$ en $R[[\epsilon]]$ ? He intentado resolver los coeficientes de $f/(\epsilon - r)$ inductivamente y me confundí.

Answer 1

Sí. Desde $r$ es nilpotente, el mapa $\phi:f(\epsilon) \mapsto f(\epsilon-r)$ es un automorfismo del anillo de la serie de potencias, y es definitivamente cierto que si $f(0)=0$ entonces $\epsilon$ divide $f$ .