¿Por qué no escribir las soluciones de un cúbico de esta manera?

Question

Para la solución de la ecuación cúbica $x^3 + px + q = 0$ Cardano escribió como:

$$\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}.$$

pero esto es ambiguo porque no dicen que raíces cúbicas para emparejar para arriba. Por qué no personas escriben de esta manera hoy en día:

$$\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}}$$

que es inequívoca.

Answer 1

Ya que nadie ha publicado una respuesta y desde que mi comentario es una especie de respuesta tangencial (y pertinentes a otra pregunta):

En UCSMP de pre-cálculo y Matemáticas Discretas, 3ª edición, p553 (en la "exploración" de la pregunta), el cúbicos fórmula se da en una forma análoga a lo que usted describe (aunque es para el general monic cúbicos, no la deprimido cúbicos). Es dado de esa manera por la razón que usted describe-en particular, debido a la forma en que la mayoría de las calculadoras y de álgebra computacional de los sistemas de definir el director de la raíz, la forma "tradicional" de la escritura de la fórmula no siempre arroja resultados correctos cuando computación ciegamente con la tecnología. La fórmula impresa en la primera impresión de ejecución del PDM es en realidad falta un término, aunque se deben corregir en la posterior impresión de pistas. La fórmula correcta lee:

Vamos $$A=\frac{\sqrt[3]{-2p^3+9pq-27r+3\sqrt{3}\sqrt{-p^2q^2+4q^3+4p^3r-18pqr+27r^2}}}{3\sqrt[3]{2}}$$ and $$B=\frac{-p^2+3q}{9A}.$$ Then, $$x_1=-\frac{p}{3}+A-B,$$ $$x_2=-\frac{p}{3}+\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}A-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}B,$$ and $$x_3=-\frac{p}{3}+\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}A-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}B$$ are the solutions to $$x^3+px^2+qx+r=0.$$