¿$\limsup_{t \to 0} {L_t}/\sqrt{t} = \infty$ con probabilidad uno?

Question

Que $B_t$ ser un movimiento browniano estándar, $L(x, t)$ ser la hora local $x$ a tiempo $t$ y $L_t = L(0, t)$. ¿Tenemos %#% $#% con probabilidad uno?

Answer 1

Es difícil entender por qué no usas Alex R. sugerencia, así que permítanme escribirlo.

Por Teorema de Levy, $L_t$ tiene la misma distribución que $M_t = \sup_{s\in[0,t]} B_t$. Así que por la ley del logaritmo iterado, $$ \limsup_{t\to 0 +} \frac{L_t}{\sqrt{2t\log \log \frac1t}} = \limsup_{t\to 0 +} \frac{M_t}{\sqrt{2t\log \log \frac1t}}\ge \limsup_{t\to 0 +} \frac{B_t}{\sqrt{2t\log \log \frac1t}} = 1. $$ Se deduce que la respuesta a tu pregunta es positiva.