Prueba de convergencia para integrales impropias $1/x^x$

Question

Tengo problemas para determinar si se trata de convergencia o divergencia

$$\int^1_0 1/x^x dx$$

Answer 1

Basta para mostrar

$$\lim_{x \to 0^+} x^{-x} =1,$ $ porque entonces podríamos considerar la integral

$$\int_0^1 x^{-x} dx$$

como una integral de una función continua en un compacto sistema (que tiene valor convergente).

Toma de registros, lo que equivale a

$$\lim_{x \to 0^+} -x \log x =0.$$

Este es un resultado estándar, que puede ser demostrado usando la regla de l'Hopital.

Answer 2

Existe otra forma que se basa en jaez prueba otra vez. De hecho, el límite siguiente dice que la integral impropia es convergente: $$\lim_{x\to 0^+}~~x^{1/2}\times\frac{1}{x^x}=0<\infty$ $

Answer 3

Sugerencia: Utilice la prueba de comparación de límite.