He encontrado la declaración como en el título de este post en la wikipedia, sin embargo, no hay ninguna referencia de su prueba. ¿Cómo uno probar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
QuentinUK
Puntos
116
Esto sigue de la teoría de grupos de ramificación (en el "menor numeración").
blue
Puntos
11796
Deje $K/{\Bbb Q}_p$ ser una extensión de Galois y $k$ el residuo campo de $K$. Como Galois acciones preservar la integralidad hay un inducida por la acción de $G$ (el grupo de Galois) en ${\frak O}_K$ fijación $\Bbb Z_p$; además de las correcciones de los poderes de la máxima ideal de ${\frak O}_K$, por lo que induce a una acción en $k$${\Bbb F}_p$, y, más generalmente, $G$ actúa como automorfismos de a ${\frak O}_K/{\frak m}^i$ todos los $i\ge0$. Definimos $G_i:=\ker(G\to{\rm Aut}({\cal O}_K/{\frak m}^{i+1}))$ $i\ge-1$ a, la ramificación de los grupos de $K/{\Bbb Q}_p$. Tenemos $G_{-1}=G$, e $G_0$ se llama la inercia del grupo de la extensión, mientras que $G_1$ se llama los salvajes de la inercia de grupo. Ahora hay una ramificación de filtración
$$G=G_{-1}\trianglerighteq G_0\trianglerighteq G_1\trianglerighteq G_2\trianglerighteq\cdots $$
A través de $1$st iso thm hay un isomorfismo canónico $G/G_0\cong{\rm Gal}(k/{\Bbb F}_p)\cong C_f$ donde $f$ es el residuo grado de $K/{\Bbb Q}_p$ (que es $f=\dim_{\,{\Bbb F}_p}k$). Entonces, si $\pi$ es un uniformizer (principal generador de ${\frak O}_K$'s max ideal ${\frak m}$), el mapa de $\sigma\mapsto \sigma(\pi)/\pi$ es un inyectiva grupo homomorphism $G_i/G_{i+1}\to U_i/U_{i+1}$ donde $U_i:=1+{\frak m}^i$ son la unidad más alta de los grupos (en virtud de la multiplicación). El cociente $U_0/U_1$ es claramente $k^\times\cong C_{p^f-1}$, e $U_i/U_{i+1}\hookrightarrow {\frak m}^i/{\frak m}^{i+1}\cong k^+\cong C_p^f$ por lo tanto es elemental abelian.
Por lo tanto $G_1\hookrightarrow G_0\hookrightarrow G$ donde $G_1$ $p$- grupo (de ahí solucionable), $G_0/G_1$ es cíclico de orden dividiendo $|k^\times|=p^f-1$ $G/G_0$ es cíclico de orden $f$. Por lo tanto, $G$ es una solución de grupo.
Para obtener más detalles y algunas pruebas, me gusta Boston La Prueba del Último Teorema de Fermat's Capítulo 3, de la Definición 3.6 hasta Corolario 3.9 (que es el que desea la demanda). (El enlace es a un funcionario pdf).
