No necesariamente busco una prueba rigurosa, más un esbozo de cómo una licenciatura podía contar los Politopos regulares de 4D (y tal vez investigar lo que parecen) como explicably como sea posible.
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Technophile
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Numberphile hecho un vídeo sobre este tema hace un tiempo. La idea es considerar el ángulo diedro entre caras adyacentes para cada uno de los cinco sólidos Platónicos – un polychoron constará de las instancias de uno de estos sólidos. Para el polychoron para ser válido polychoron, al menos tres de las células debe cumplir en un borde y la suma de los ángulos diedros en el espacio 3-dimensional debe ser estrictamente menor que 360°.
- Tetraedro (ángulo diedro 70.5°): tres, cuatro o cinco tetraedros comparten un borde en 3D sin que se superpongan. Doblado en 4D espacio, estas configuraciones dar el 5 de células, de 16 de células y 600 de células, respectivamente.
- Cubo (90°): tres cubos de alrededor de un borde de los rendimientos de las 8 células o tesseract. Cuatro alrededor de un borde, sin embargo, completamente llena, dando lugar a la ordinaria cúbicos de nido de abeja y no cualquier polychoron.
- Octaedro (109.5°): sólo tres octaedros puede caber alrededor de un borde, dando el 24 de células.
- Dodecaedro (116.6°): la situación es la misma que para el octaedro, y los rendimientos de los 120-célula.
- Icosaedro (138.2°): dado que esta es mayor que 120°, tres de ellos no puede caber alrededor de un borde en primer lugar, por lo que no regulares polychoron ha icosaédrica de las células.
kevtrout
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En cualquiera de los $4$-polytope, tres o más regulares los poliedros se reúnen en cada borde. Los ángulos entre las caras de estos poliedros tienes que añadir a menos de $2\pi$ (de la misma manera que los ángulos de encuentro en un vértice de un poliedro debe agregar a menos de $2\pi$). Mediante el cálculo de los ángulos entre las caras de los poliedros regulares, los estudiantes pueden demostrar que el número de tetraedros de reunión en un borde podría ser $3$, $4$ o $5$, pero el número de cubos, octohedra, o dodecaedros reunión en un borde sólo puede ser $3$. Icosahedra no puede ser hecho para encajar alrededor de un borde, incluso si sólo hay $3$ de ellos.
Esto muestra que hay más de seis regular $4$-polytopes, tres hechos de tetraedros, y uno de cada uno de los cubos, octohedra, y dodecohedra. La parte más difícil es demostrar que estas existen. Estudiantes inteligentes podría ser capaz de producir una lista de $4$coordenadas dimensionales y demostrar que estas coordenadas efectuar la forma, de la misma manera que las siguientes coordenadas dar un dodecaedro: $$(\pm 1,\pm 1,\pm 1)\\ (\pm\phi\pm1/\phi,0)\\ (0,\pm\phi\pm1/\phi)\\ (\pm1/\phi,0,\pm\phi)$$
