Convergencia de una secuencia $g_n(x)$ a $g(x) = 1-|x|$ sur $W^{1,p}(B(0,r=1) \setminus 0)$ para $1 \le p \le 2$ donde $B(0,1) \subset \mathbb{R}^2$

Question

Considere la secuencia $\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ definido por

$$g_n(x) =\max \left\{ 0, \min \left\{1-\frac{n+1}{n}\Vert x\Vert, n- \ln\ln\left(1+\frac{1}{\Vert x\Vert}\right) \right\} \right\}.$$

¿Cómo puedo demostrar que $\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge a

$$g(x)= 1-\Vert x \Vert$$

en $W^{1,p}(B(0,r=1) \setminus 0)$ donde $B(0,1) \subset \mathbb{R}^2$ para $$1 \le p \le 2$$ como $n \to \infty$ ?

Es decir, ¿cómo puedo pro $$\int_{-1}^{1} |g_n(x)-g(x)|^p \ \mathrm{d}x \to 0 \quad \text{ and } \quad \int_{-1}^{1} |\nabla g_n(x)-\nabla g(x)|^p \ \mathrm{d}x \to 0$$ para $$1 \le p \le 2$$ como $n \to \infty$ ?

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El caso unidimensional fue resuelto por una respuesta dada por @Dap. Las siguientes imágenes se refieren a ese caso.

Esta es la trama de $g$ producido por Wolfram Alpha :

Para $n=2$ , esta es la trama de $g_n$ producido por Wolfram Alpha%20%5D%5D%5D%5D,%20%7Bx,%20-1,%201%7D%5D) :

Mis principales dificultades están en estimar las integrales de $|x| \le |\tilde{x}|$ donde $|\tilde{x}|$ es el valor de $x$ donde se alcanza el máximo.

Answer 1

Si una función $f$ es continua, diferenciable y monótona en un intervalo $[a,b]$ entonces $\int_a^b|\partial_xf|=|\int_a^b\partial_xf|=|f(b)-f(a)|.$

Podemos descomponer estas funciones en trozos monótonos. $\int_{-1}^1|\partial_xg|=\int_{-1}^0|\partial_xg|+\int_{0}^1|\partial_xg|=2.$

Sea $x^*$ sea el valor que maximiza $g(x^*)$ sujeto a $x^*\in[0,1].$ Integración de $|\partial_xf|$ en los cuatro intervalos da $\int_{-1}^1 |\partial_xg_n|=\int_{-1}^{-x^*} |\partial_xg_n|+\int_{-x^*}^0 |\partial_xg_n|+\int_{0}^{x^*} |\partial_xg_n|+\int_{x^*}^1 |\partial_xg_n|=4g_n(x^*)\approx 4.$

Hemos demostrado $\|\partial_x g_n\|_1\approx 4$ y $\|\partial_x g\|_1=2.$ Así que $\partial_x g_n$ no converge a $\partial_x g$ sur $L^1([-1,1]\setminus\{0\}).$ En un dominio finito, $L^p$ convergencia es un requisito más estricto, por lo que no convergen para $p>1$ tampoco.

En términos más generales, las funciones en $W^{1,1}$ tienen un representante (absolutamente) continuo, y una secuencia de funciones $f_n$ con $f_n(0)=0$ no puede converger a una función con $f_n(0)=1$ sur $W^{1,1}(0,1)$ o incluso en $BV$ .