Es la adición continua?

Question

Yo voy a pedir un muy tonta la pregunta, por lo que estoy pidiendo a la comprensión de si es absolutamente trivial, o si se trata de un ejercicio en algunos Bourbaki. Tengo miedo de preguntar, porque la pregunta implica este caso particular: es la adición de (finita, pero la variable de cantidad de) los números reales una función continua?

Ok, voy a tratar de explicar lo que quiero decir.

Estoy insistiendo en hacer ejercicios sobre topológicos, grupos, a ver si me puede entender algo acerca de la anterior pregunta 1, pregunta 2 y 3 de pregunta. Este debería ser más elementales.

Deje $G$ ser un topológico Abelian grupo, escrito de forma aditiva, y deje $I$ ser un conjunto arbitrario. No me importa si usted toma $G = \mathbb{R}$, con la costumbre de la topología Euclidiana y la costumbre de la adición de números reales, pero que no puede asumir la $I$ es finito, ni contables. Vamos

$$ G^I = \prod G = \prod_\alpha G_\alpha , \qquad \text{donde}\ G_\alpha = G \qquad \text{para todo}\ \alpha \I \ . $$

Nos deja denotar $(x_\alpha)$ los elementos de $\prod G$. Este es un Abelian topológico grupo con el habitual producto de la topología y operaciones definidas componente sabio:

$$ \begin{align} (x_\alpha) + (y_\alpha) &= (x_\alpha + y_\alpha) \\ -(x_\alpha) &= (-x_\alpha) \end{align} $$

Tenga en cuenta también el producto débil $\prod' G$ (aka, suma directa). Es decir, los elementos de $\prod' G$ son las tuplas $(x_\alpha) \in \prod G$ tal que $x_\alpha = 0$, a excepción de un número finito de índices de $\alpha \in I$.

$\prod'G $ es, por supuesto, un subgrupo de $\prod G$, $\prod' G \subset \prod G$. Consideremos el subespacio topología en $\prod' G$, inducida a partir de la topología producto en $\prod G$.

Entonces tenemos una bien definida, además de mapa que no habíamos en $\prod G$:

$$ \sum : \prod ' G \longrightarrow G \ , \qquad (x_\alpha ) \mapsto \sum_\alpha x_\alpha \ . $$

Esto tiene sentido, a pesar del hecho de $I$ no es necesariamente un conjunto ordenado debido a que, dado un elemento $(x_\alpha) \in \prod'G$ si $x_{\alpha_1}, \dots , x_{\alpha_n}$ son no-cero de los componentes, no tenemos una canónica de elección en el fin de realizar la adición $x_{\alpha_1} + \cdots + x_{\alpha_n}$. Sin embargo, ya que la suma es asociativa y conmutativa, podemos hacer lo que queramos: el resultado siempre será el mismo. Por lo tanto $\sum_\alpha x_\alpha$ está bien definido.

Pregunta. Es este mapa $\sum$ continua?

Es decir, si a usted no le gusta demasiado la abstracción en su vida, pero prefiero ser muy específico: es la suma de los números reales

$$ \sum: \prod' \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \ , \qquad (x_\alpha) \mapsto \sum_\alpha x_\alpha $$

continua?

Comentario 1. La pregunta parece tonta, ¿no? Bueno, tal vez lo es, pero la primera respuesta que me vino a mi mente está mal, tan lejos como puedo ver: usted no puede decir que "esto $\sum$ es continua porque es una composición de continuo mapas"; es decir, la iteración de la adición de $G$. Sí, pero: que la composición? Observe que no hay ningún canónica de elección para hacer la adición en un orden específico -no podía ser de orden en todos los en $I$. Así que cada vez que compute $\sum_\alpha x_\alpha$ puede cambiar el orden en que se realiza el (continua) las sumas $x_\alpha + x_\beta$. Por eso, $\sum$ es no una composición de un número finito de mapas específicos.

(Edit. Anterior Comentario 2 estaba equivocado.)

Answer 1

En el caso de que $I$ es infinito y $G$ no trivial de la topología, la respuesta es no. deje $(x_\alpha) \in \prod 'G_\alpha$ y deje $U$ ser un conjunto abierto que contiene a $( x_\alpha)$.

U viene de un conjunto abierto en la topología producto, por lo que podemos asumir que se es $\prod U_\alpha \cap \prod'G_\alpha$ donde sólo por número finito $U_\alpha \neq G$. la suposición de que $I$ es infinito nos da al menos una $U_\beta=G$, para todos los $(y_\alpha)$ tal que $y_\alpha = 0 \forall \alpha\neq \beta$ tenemos $(x_\alpha)+(y_\alpha) \in U$$\sum (U) = G$, debido a que podemos elegir $y_\beta$ a cualquier elemento de G.

Esto significa que si $V\neq G$ es una vecindad de a$\sum (x_\alpha)$, entonces no hay ningún barrio abierto U de $(x_\alpha)$ tal que $\sum (U) \subseteq V$.

Answer 2

Se puede agregar que el ejemplo muestra que el verdadero subproducto de un no-finito número de copias de $\mathbb R$ no tiene la topología de subespacio a partir de los correspondientes productos. De hecho, en la habitual categórica motivos, no es sólo (en la mayoría) una topología que cumple el requisito (con respecto a todas las posibles asignaciones de la subproducto a todos los demás grupos topológicos/vectorspaces. Como muestra el ejemplo, la "correcta" subproducto de la topología es considerablemente más fino que el de la restricción de la topología producto: [Modificar:] localmente convexo topológicos, espacios vectoriales es esencialmente un "diamante" de la topología.

[Edit 2]: El diamante de la topología en un subproducto/suma de $V_i$ tiene de base local en 0 dada por convexo cascos de (la imagen de) abre a las $0$$V_i$. En el localmente convexo categoría, está bastante claro que este tiene la propiedad deseada, por tanto, de construir el subproducto.

[Edit: correcciones relacionadas con "localmente convexo" modifier " y "innumerables" modificador...]

La situación no es tan trivial/aburrido como uno podría imaginar, ya que innumerables co-productos de copias de $\mathbb R$ en la categoría de no-necesariamente localmente convexo topológicos, espacios vectoriales no son ellos mismos localmente convexo, debido a la existencia de no-localmente convexo topológicos, espacios vectoriales, el $\ell^p(I)$ espacios con $0<p<1$ y posiblemente innumerable conjunto de índices $I$. A ver, por un nbd $N$ $0$ en el localmente convexo subproducto de copias de $\mathbb R$ indexados por innumerables $I$, con el diamante de la topología, para cada una de las $i\in I$ hay $\delta_i>0$ tal que $N\cap \mathbb R_i\supset (-\delta_i,\delta_i)$. Para $I$ innumerables, hay algunos $n_o$ tal que hay infinitamente muchos $i_1,i_2,\ldots \in I$$\delta_i\ge 1/n_o$. A continuación, el $p$-normas de la cada vez mayor combinaciones convexas de $i_j$th-inclusión de $\delta_{i_j}$$\delta_{i_1}^p/n^p+\ldots+\delta^p_{i_n}/n^p$. Estos son acotado abajo por $n/n_o^pn^p=n^{1-p}/n_o^p$ que vaya a $+\infty$. Esto se contradice con cualquier esperanza de un continuo inducida por el mapa a$\ell^p(I)$$0<p<1$.

Esto tiene la consecuencia de que el inductivo límites de localmente convexa plana en la mayor categoría de no-necesariamente-localmente convexo televisores no son localmente convexo. Posiblemente esto suena razonable o bastante inocente, pero que implica que ya no podemos apelar a Hahn-Banach, etc. Al menos, significa, ciertamente, que en innumerables co-productos/colimits en el localmente convexa plana categoría no co-productos/colimits en la categoría mayor.

Esta pequeña historia se hace también ofrece todavía otro recordatorio de algunos de los imprevistos, no primarias riesgos de infinitary operaciones, especialmente innumerables, creo.

Thx a Theo B. para corregir mi anterior salvaje sobre-declaración! :)