Sobre la lógica y la teoría de la información

Question

Si las declaraciones

Todos los cuervos son negros

y

Todas las cosas no negras son no cuervos

son iguales, entonces ¿por qué la primera es mucho más fácil de comunicar dando ejemplos? ¿Qué implicaciones tiene esto en la teoría de la información?

Answer 1

Esta es una pregunta interesante. Aquí hay una puñalada: Dejemos que el enunciado sea $A$ . Estoy considerando dos formas de convencerte de $A$ .

• 1) Enumerar todos los cuervos, y demostrar que cada uno es negro.
• 2) Enumerar todas las cosas no negras, y demostrar que cada una de ellas no es un cuervo.

Ahora, hay muchas más cosas no negras que cosas de cuervos. Por lo tanto, si te doy un ejemplo en el que señalo un cuervo y demuestro que es negro, he avanzado más hacia tu convencimiento que si señalo una cosa no negra y demuestro que no es un cuervo.

Así que es probable que elija la estrategia 1).

Ahora estoy intentando pensar en un ejemplo en el que la estrategia 2) sea la mejor apuesta, es decir, en el que haya muchos más "cuervos" que cosas "no negras".

EDIT: Mark Dominus señala que esto existe; se llama La paradoja de Hempel . Usan cuervos, pero eso es probablemente muy importante.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal{U}$ sea el finito conjunto universal de todas las cosas bajo el Sol. Dejemos que $\mathcal{B}$ sea el conjunto de todas las cosas negras. Sea $\mathcal{C}$ sea el conjunto de todos los cuervos. Como hay cosas no negras y cosas negras que no son cuervos, tenemos

$$\mathcal{C} \subset \mathcal{B} \subset \mathcal{U}$$

Supongamos que un amigo que vive lejos está pensando en una cosa. Como este amigo tiene muchos intereses y piensa en muchas cosas, somos conservadores y suponemos que el PMF de la cosa en la que se piensa es uniforme en $\mathcal{U}$ . Por lo tanto, la medida de nuestra incertidumbre con respecto al pensamiento de nuestro amigo es $\log_2 |\mathcal{U}|$ bits. Si nuestro amigo nos envía el mensaje

Estoy pensando en un cuervo.

entonces nuestra incertidumbre se ha reducido a $\log_2 |\mathcal{C}|$ bits, es decir, el mensaje de nuestro amigo contenía

$$\log_2 |\mathcal{U}| - \log_2 |\mathcal{C}| = \log_2 \left(\frac{|\mathcal{U}|}{|\mathcal{C}|}\right) > 0$$

bits de información. Sin embargo, si nuestro amigo nos envía el mensaje

Estoy pensando en algo que no sea negro.

entonces nuestra incertidumbre se ha reducido a $\log_2 (|\mathcal{U}|-|\mathcal{B}|)$ bits, es decir, el mensaje de nuestro amigo contenía

$$\log_2 |\mathcal{U}| - \log_2 (|\mathcal{U}|-|\mathcal{B}|) = \log_2 \left(\frac{|\mathcal{U}|}{|\mathcal{U}|-|\mathcal{B}|}\right) > 0$$

bits de información. Si hay más cosas no negras que cuervos, lo cual es una suposición muy razonable, entonces $|\mathcal{U}|-|\mathcal{B}| > |\mathcal{C}|$ y, por lo tanto,

$$\log_2 \left(\frac{|\mathcal{U}|}{|\mathcal{C}|}\right) > \log_2 \left(\frac{|\mathcal{U}|}{|\mathcal{U}|-|\mathcal{B}|}\right)$$

es decir, el primer mensaje ("cuervo") contiene más información que el segundo ("no negro").