Sé homeomorphim es una relación de equivalencia, que significa que un espacio topológico sea homeomorfa a sí mismo. ¿Sin embargo, tiene lo converse? ¿En otras palabras, es posible que un conjunto con dos distintas topologías todavía puede ser homeomorfa?
Gracias.
En primer lugar, un terminológica punto: la relación de equivalencia se llama homeomórficos; un "homeomorphism" es un tipo particular de función.
Para responder a tu pregunta: sí.
En particular, vamos a $X$ denotar un conjunto con dos o más elementos. Luego existen distintas topologías $\tau,\tau' \subseteq \mathcal{P}(X)$ tal que $(X,\tau)$ $(X,\tau')$ son homeomórficos (pero diferentes).
Prueba. Desde $X$ tiene dos o más elementos, podemos dejar que $x$ $y$ denotar distintos puntos de $X$. Ahora defina $\tau = \{\emptyset,\{x\},X\}$$\tau' = \{\emptyset,\{y\},X\}$. Observar que $\tau$ $\tau'$ son distintos, y que ambos son topologías.
Ahora considere la función $f : X \rightarrow X$ que permutes los puntos de $x$$y$, dejando todos los otros puntos de la constante. Este es un homeomorphism $f : (X,\tau) \rightarrow (X,\tau'),$ $(X,\tau)$ es homeomórficos a $(X,\tau')$.
Bueno... sí. En la generalidad un poco más que se ha hecho hasta ahora, supongamos que $\mathcal{O}$ es una topología sobre un conjunto de $X$ y $f : X \to X$ es una biyección, entonces $$\mathcal{O}_f := \{ f [ U ] = \{ f(x) : x \in U \} : U \in \mathcal{O} \}$$ is also a topology on $X$. Usually this topology will differ from the original topology (but not always: what if $\mathcal{O}$ is the discrete topology? or if $f$ is the identity function?), but the mapping $f$ will be a homeomorphism from $\langle X, \mathcal{O} \rangle$ onto $\langle X, \mathcal{O}_f \rangle$.
¿Quieres el Homeomorfismo que la identidad? En ese caso, se sigue que las topologías deben necesariamente estar de acuerdo.
Si no, considere la dos topologías (diferente) $X = \{1,2\}$ $\mathcal{T}_1 = \{\emptyset,\{1\},X\}$ y $\mathcal{T}_2 = \{\emptyset,\{2\},X\}$. La identidad no es un Homeomorfismo en este caso pero el mapa intercambio $1$ y $2$ es.
Otro ejemplo: $\mathbb{R}$ en la topología de la flecha derecha (generado por todos los conjuntos de la forma $[a,b)$) es homeomorfa a la $\mathbb{R}$ en la topología de flecha izquierda (generado por todos los conjuntos de la forma $(a,b]$), usando el Homeomorfismo $x \rightarrow -x$, pero la única topología en los reales con ambos tipos de intervalos ser abierto es la topología discreta (como $[a,a+1) \cap (a-1, a] = \{a\}$, para solteros en la topología de"Unión" están abiertos). Así pues estas topologías en el mismo conjunto están en un sentido "ortogonal" pero homeomórficos no obstante.
La idea básica que faltan aquí es: ¿Qué tipo de objeto es un hoeomorphism aplicar? La cosa es que no se puede hablar de dos conjuntos que se homeomórficos, sólo dos espacios topológicos pueden ser homeomórficos.
Por ejemplo, usted puede tener un espacio topológico $X=\mathbb R$ con el estándar de la topología, y el espacio de $Y=\mathbb R$ con la topología trivial $\{\emptyset, \mathbb R\}$. Estos dos espacios están claramente no homeomórficos.
La pregunta
"es posible que un conjunto con dos diferentes topologías todavía puede ser auto-homeomórficos?"
y el real responderle aquí es que si usted tiene un conjunto con dos topologías diferentes, tiene DOS espacios topológicos y usted no puede siquiera comenzar a hablar de ellos por ser de auto-homeomórficos.
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