limitar con $\arctan$

Question

Tengo que encontrar el límite y quiero preguntar sobre una pista:

$$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{2}}[\arctan((n+1)^{\frac{1}{2}})- \arctan(n^{\frac{1}{2}})]$$

No tengo idea qué hacer. Derivados y regla de L'Hôpital son tan difíciles de

Answer 1

Recuerde una identidad trigonométrica: $$ \arctan a + \arctan b = \arctan\frac{a+b}{1-ab}. $$ Después de eso, puede que desee utilizar el hecho de que $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\to0$ $n\to\infty$. Y luego de tal L'Hopital.

El hecho de límites que afirmé anteriormente puede ser visto por racionalizar el numerador: $$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} {\sqrt {n+1} + \sqrt {n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. $$

Answer 2

Escribir

$$\tan \left(\arctan\left( (n+1)^{1\over2}\right) - \arctan\left( n^{1\over2}\right) \right) = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1+\sqrt{n(n+1)}} = \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+{1\over n}}-1\right)}{1+\sqrt{n(n+1)}}$$

Así $$\arctan\left( (n+1)^{1\over2}\right) - \arctan\left( n^{1\over2}\right) = \arctan \left( \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+{1\over n}}-1\right)}{1+\sqrt{n(n+1)}}\right) $ $

Y $$ \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+{1\over n}}-1\right)}{1+\sqrt{n(n+1)}} \sim \frac{n^{1\over 2} \left( 1 + \frac{1}{2n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2} \right) -1\right)}{n} \sim \frac{1}{2n^{3\over2}}$ $

Así, desde $\arctan x \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x$,

$$ \arctan \left( \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+{1\over n}}-1\right)}{1+\sqrt{n(n+1)}}\right) \sim \frac{1}{2n^{3\over2}} $$

Y su límite es $1 \over 2$.

Answer 3

Aquí es otro enfoque, a calcular la serie de Taylor de $\arctan((x+1)^{\frac{1}{2}})- \arctan((x)^{\frac{1}{2}}$ en el % de punto $x=\infty$

$$ \arctan((x+1)^{\frac{1}{2}})- \arctan((x)^{\frac{1}{2}}= \frac{1}{2}\, \frac{1}{x^{3/2}}-\frac{7}{8}\, \frac{1}{x^{5/2}}+O \left( \frac{1}{x^{7/2}} \right). $$

Así que la expansión anterior da

$$ n^{3/2}(\arctan((n+1)^{\frac{1}{2}}) - \arctan((n)^{\frac{1}{2}})= \frac{1}{2}\, -\frac{7}{8}\, \frac{1}{n}+O \left( \frac{1}{n^{2}} \right)$$ $$ \implies \lim_{n\to \infty} n^{3/2}( \arctan((x+1)^{\frac{1}{2}})- \arctan((x)^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}. $$