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¿Que son bien-se puede pedir sin el axioma de elección?

Sé que, asumiendo axioma de elección, cada conjunto es bien ordenable. Sé también que la afirmación de que $\mathbb{R}$ no es bien ordenable es consistente con ZF. ¿Cómo puedo encontrar otros juegos que, en la ZF, no puedo demostrar sus pedidos bien? Por ejemplo, que los elementos de jerarquía de Von Neumann

$V_0 = \emptyset \\ V_{\alpha+1}=P(V_{\alpha}) \\ V_\lambda = \cup_{\alpha<\lambda} V_\alpha $

¿(excepto $V_n$ $n$ ordinal finito y $V_\omega$) puede ser bien ordenado?

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iturki Puntos 106

Es coherente que $V_{\omega + 1}$ que no se puede pedir el bien.

$\omega \subset V_\omega$. Así $\mathscr{P}(\omega) \subseteq P(V_\omega) = V_{\omega + 1}$. Así que si puede solicitarse bien $V_{\omega + 1}$, $\mathscr{P}(\omega) = 2^\omega$ podría ser ordenado. Como usted ha mencionado $\mathbb{R}$ que es isomorfo puede no ser bien se puede pedir...

$V_\alpha \subseteq V_\beta$ $\alpha < \beta$. Así es consistente que todas las $V_\alpha$ $\alpha \geq \omega + 1$ no son para bien.

2voto

DanV Puntos 281

Es un poco difícil dar una caracterización completa, por varias razones.

  1. $L$ es bien ordenado, en el hecho de $\rm HOD$ es bien ordenado, por lo que cada subconjunto de estos modelos es siempre bien ordenado. Ya que estos dos son los modelos de $\sf ZFC$ garantía de que no es tan sencillo como te gustaría que fuera.

  2. Si $V$ es un modelo de $\sf ZF+\lnot AC$ $M$ es un interior modelo satisfacer $\sf AC$, entonces hay un conjunto de ordinales en $V\setminus M$. Por lo tanto los modelos de desacuerdo sobre la verdad de $\sf AC$ también estarán en desacuerdo sobre los conjuntos de los números ordinales. Pero dado que dicha serie de $A$, si tenemos en cuenta $M[A]$ es todavía un modelo de $\sf ZFC$. Así que, al considerar los conjuntos de los números ordinales sabemos que hay una diferencia, pero es difícil de estimar.

  3. Como usted y William nota tanto, es coherente que $\Bbb R$ no puede ser bien ordenado. Haciendo un cálculo rápido, $|\Bbb R|=|V_{\omega+1}|$. Por lo tanto, en tal modelo no $V_\alpha$ $\alpha>\omega$ puede ser bien ordenado. Y podemos usar la coerción y simétrica de los modelos de asegurarse de que el menor no bien disponible $\alpha$ es bastante mucho nada.

  4. Si $V$ es un modelo de $\sf ZF$, entonces para cada a $x\in V$ no es una extensión genérica de $V$ tal que $x$ puede ser bien ordenado en el que la extensión (por ejemplo, $x$ contables), así que de no ser así-disponible no es absoluta entre los modelos, y realmente no podemos hablar establece que "absolutamente no puede ser bien ordenado".

Si combinamos los dos últimos puntos, conseguimos que nos puede estropear el axioma de elección, de muchas maneras, y podemos controlar estas formas relativamente fácil y muy bien (sobre todo si todos queremos que es la violación de la elección, y algunos más fuertes propiedades a la determinación). Casi cualquier cosa se va.

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