Hay dos maneras de hacer esto. Uno es Ross Millikan: usted hará diez "arriba" se mueve, y 20 "derecho" se mueve; la única cuestión es que el fin de ponerlos en. Imaginar la colocación de la "derecha" se mueve en una fila; ahora hay que decidir dónde hacer el "arriba" se mueve: lo hace mediante la inserción de ellos "entre" (antes o después) de la "derecha" se mueve. Por lo que necesita para elegir diez lugares para poner "hasta" se mueve: hay 21 lugares para ellos (nineteeen entre la "derecha" se mueve, uno antes de todos ellos, uno después), y te permite elegir el mismo lugar más de una vez.
Esta es una de las combinaciones-con-repeticiones: la fórmula es $\binom{n+r-1}{r}$, donde ha $n$ posibilidades, y debe hacer a $r$ opciones con repeticiones permitidas. En este caso, $n=21$, $r=10$, así que usted consigue $\binom{30}{10}$.
Hay otra manera de hacerlo, que es más gráfico. Voy a hacerlo con un 4 por 3 matriz para ver cómo funciona. Usted tiene esta matriz:
$$\begin{array}{cccc}
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\end{array}$$
Ahora, se empieza en la parte inferior izquierda, por lo que sólo hay un camino para llegar allí; ponemos un $1$ el próximo.
$$\begin{array}{llll}
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot\;1& \cdot & \cdot & \cdot
\end{array}$$
A continuación, puede ir hacia arriba o a la derecha, hay un solo camino para llegar a los puntos (a través del primer movimiento); ponemos un $1$ el próximo:
$$\begin{array}{llll}
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot\;1 & \cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot\;1& \cdot\;1 & \cdot & \cdot
\end{array}$$
Ahora: para llegar a $(1,1)$, puede acceder a ella desde $(1,0)$ o de$(0,1)$, ya que sólo hay una manera de llegar a cada uno de ellos, hay dos formas de llegar a la $(1,1)$. Por otro lado, sólo una manera de llegar a $(2,0)$ o a $(0,2)$:
$$\begin{array}{llll}
\cdot\;1 & \cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot\;1 & \cdot\;2 & \cdot & \cdot\\
\cdot\;1& \cdot\;1 & \cdot\;1 & \cdot
\end{array}$$
Siguiente: para llegar a $(1,2)$, se puede llegar ya sea de $(0,2)$ (una manera de estar allí), o de $(1,1)$ (dos maneras de llegar allí); así, en total, de tres maneras. Igualmente, tiene tres maneras de llegar a $(2,1)$, debido a que puede ir desde $(2,0)$, y sólo hay una manera de hacer todo eso, o usted puede ir a la derecha de $(1,1)$ (y hay dos formas de hacerlo, que corresponden a las dos formas que hay para llegar a $(1,1)$; por lo tanto tenemos:
$$\begin{array}{llll}
\cdot \;1 &\cdot\;3 & \cdot & \cdot\\
\cdot\;1 & \cdot\;2 & \cdot\;3 & \cdot\\
\cdot\;1& \cdot\;1 & \cdot\;1 & \cdot
\end{array}$$
Continuando de esta manera, obtenemos:
$$\begin{array}{llll}
\cdot\;1 & \cdot\;3 & \cdot\;6 & \cdot\;10\\
\cdot\;1 & \cdot\;2 & \cdot\;3 & \cdot\;4\\
\cdot\;1 & \cdot\;1 & \cdot\;1 & \cdot\;1
\end{array}$$
Así que hay $10$ formas de llegar a la esquina superior derecha en el 4 por 3 caso.
Usted puede incluso reconocer que estos números son solo triángulo de Pascal acostado sobre su lado! Bien, no es una fórmula combinatoria para las entradas de triángulo de Pascal: la $r$th entrada en el $m$th fila se corresponde con el coeficiente de $a^{m-r}b^{r-1}$ en el binomio de expansión de $(a+b)^{m-1}$, por lo que es igual a $\binom{m-1}{r-1}$. Para averiguar la entrada que corresponde a la esquina superior derecha, tenga en cuenta que usted va "hacia abajo" en una fila para cada posición en el $x$-eje, y el otro uno para cada paso. Así que aquí hemos ido a la 4ª fila sobre la horizontal pasos y, a continuación, a las 6 de la fila en la que va hacia arriba dos veces. Cada paso es un movimiento "derecho" en la fila. Así que con un 4 por 3, estamos en la fila $4+(3-1)=6$, y estamos en la posición $3$ de la fila. De acuerdo a la fórmula de arriba, que corresponde a $\binom{4+2-1}{3-1}=\binom{5}{2}$. Esto corresponde a la necesidad de hacer de $3$ se mueve a la derecha y dos hacia arriba, así que debemos elegir dónde colocar los dos de arriba se mueve entre los tres movimientos; hay cuatro lugares para ponerlos en (antes de las tres, después de las tres, o en los dos espacios en el medio), por lo que la fórmula que me dio anteriormente da esta respuesta así.
