Número finito de simples grupos de orden dado es en la mayoría de las $2$ - es una clasificación libre de la prueba posible?

Question

Este artículo de la Wikipedia indica que el tipo de isomorfismo de un grupo simple finito está determinado por su orden, excepto que:

• $L_4(2)$ $L_3(4)$ ambos tienen el fin de $20160$
• $O_{2n+1}(q)$ $S_{2n}(q)$ tienen el mismo orden de $q$ impar, $n > 2$

Yo creo que esto significa que para cada entero $g$, hay $0$, $1$ o $2$ simple grupos de orden $g$.

Necesitamos toda la fuerza de la Clasificación de los Finitos Simples Grupos para probar esto, o es que hay una manera más sencilla de probarlo?

Answer 1

Aunque no soy (por cualquier tramo) un experto en finitos simples grupos, permítanme carne de mi comentario anterior.

Considere el siguiente QCFSG (es decir, "cualitativa" CFSG): con sólo un número finito de excepciones, cada grupo simple finito ha de primer orden, es alterna, o es uno de un número finito de conocidos infinito familias de Mentir tipo. QCFSG debe haber sido conjeturado bien temprano, mientras que la declaración exacta de CFSG fue mucho más difícil de conseguir, ya que gran parte de los primeros trabajos sobre el problema de clasificación resultó en el descubrimiento de nuevos grupos esporádicos.

Supongo que temprano alguien debe de haber mirado el nonsporadic finitos simples grupos y se dio cuenta que, salvo las dos excepciones mencionadas más arriba, tienen órdenes distintos. [Suponiendo que esto es realmente cierto, que es. No tengo ninguna razón para dudar de ella, pero no he comprobado yo mismo.] Una vez te aviso que, si usted cree que QCFSG, entonces usted sin duda creo que el orden de un simple grupo determina el grupo a un número finito de excepciones. Es muy difícil para mí imaginar cómo se podría demostrar que el número de excepciones es precisamente dos sin conocer plenamente CFSG.

No puedo resistir transmitir una historia de Jim Milne, cuya moral es que usted no debe sentirse muy mal cuando te dicen algo absolutamente estúpido en público: mejor matemáticos que usted o que he dicho más estúpido cosas.

Por último, una historia que tenga en mente la próxima vez que pida una totalmente estúpida pregunta en una importante conferencia. Durante un seminario Bourbaki en el estado del problema de clasificación de grupos finitos simples, el orador mencionó que no se sabe si un simple grupo (el monstruo) existía un cierto orden. "Podría no ser más que un simple grupo de ese orden?", preguntó Weil de la audiencia. "Sí, no podría", respondió el orador. "Bueno, podría ser infinitamente muchos?", preguntó Weil.

Para la fuente, y para algunas otras historias divertidas, ver

http://www.jmilne.org/math/apocrypha.html

Answer 2

Hay muchos matemáticos fuera finita de la teoría de grupo que le preguntó si importante infinito de fragmentos de la clasificación fueron posibles sin la totalidad de la clasificación. Yo creo que el favorito de la pregunta siempre ha sido : se Puede demostrar la finitud de la sporadics sin la clasificación completa?

Hay una buena probabilidad de que la tercera generación de tecnología de prueba de reducir el enredo entre las diferentes partes de la clasificación, porque uno sabe que el unipotentes primos durante los argumentos anteriores, donde los métodos actuales sólo revelan semi-estructura simple. Ha habido un notable éxito en esta dirección :

Teorema (Altinel, Al Boleto, Cherlin). Un grupo simple finito de Morley rango que contiene un infinito primaria abelian 2-el grupo es un Chevalley grupo a través de una algebraicamente cerrado de campo de carácter 2.

No se conoce ninguna prueba de que simplemente grupos de finito Morley rango aún tienen una involución, mucho menos que los grupos con extraña característica buscando Sylow 2-subgrupo también son algebraicas. En consecuencia, no es una conjetura por al boleto que básicamente propone que uno podría clasificar finitos simples grupos que la 2-rank es considerablemente superior a la de la p-rank para cualquier otro p primo.

La prueba final de [ABC], pesa alrededor de 500 páginas, pero cualquier finito analógico requeriría muchos miles de páginas para lidiar con temas como el trenzado de los grupos de Lie tipo y la alternancia de los grupos, incluso suponiendo que encontrar algún truco para evitar todos los sporadics.

En resumen, hay un montón de interesantes resultados que dependen de la plena CFSG para el futuro previsible, porque sólo funky asintótica fragmentos de un aspecto aún vagamente realista como independiente de los resultados, e incluso aquellos que parecen extremadamente difícil.