Secuencia de tipo de Mayer-Vietoris para Pushouts

Question

Pushouts en la categoría de $\mathsf{Top}$ de los espacios topológicos existen y bajo ciertas condiciones se conocen como contigüidad de los espacios. Rigurosamente, si

es un diagrama en $\mathsf{Top}$, entonces existe un universal conmutativo el diagrama

Pregunta 1. Hay una larga secuencia exacta (similar a la de Mayer-Vietoris secuencia) relacionados con la homología de grupos de $A$, $X$, $Y$, y $P$?

Si no se conoce la secuencia en esta situación general, entonces estoy curioso sobre el caso especial de la contigüidad de los espacios.

Pregunta 2. Si $g$ es la inclusión de un subespacio $A$ a $Y$, $P$ es el llamado contigüidad espacio de $X\cup_f Y$. Hay una larga secuencia exacta relacionados con la homología de grupos de $A$, $X$, $Y$, y $X\cup_f Y$?

Por último, dado que las intersecciones son sólo casos especiales de pullbacks en $\mathsf{Top}$, tengo curiosidad por ver si esta línea de cuestionamiento proporciona una generalizada de Mayer-Vietoris secuencia.

Pregunta 3. Deje $P$ ser la retirada de una $\mathsf{Top}$ diagrama de $X\rightarrow A\leftarrow Y$. Hay una larga secuencia exacta relacionados con la homología de grupos de $A$, $X$, $Y$, y $P$?

Obviamente no voy a ser demasiado molesto si alguien sabe de una buena respuesta que se basa en la sustitución de $\mathsf{Top}$, con una "mejor" subcategoría como cw-complejos o lo que sea.

Answer 1

Como una respuesta a las dos primeras preguntas, la respuesta es sí si la pushout calcula el llamado homotopy pushout.

En la escuela primaria términos, esto significa que el mapa de $C(f, g) \rightarrow P$ a partir de la doble asignación de cilindro para el pushout es un homotopy de equivalencia. Por ejemplo, es suficiente para que uno de $f, g$ a ser un cofibration.

Si este es el caso, entonces tenemos una larga secuencia exacta como Mayer Vietoris para el revestimiento $U, V \subseteq C(f, g)$, donde $U = X \cup A \times [0, \frac{2}{3})$, $V = Y \cup A \times (\frac{1}{3}, 1]$. De hecho, no es difícil ver que $U \simeq X, V \simeq A$$U \cap V \simeq A$.

Si el pushout de su diagrama no es una homotopy pushout, entonces creo que hay poca esperanza para cualquier largo de la secuencia exacta. Supongamos que tal cosa existe y que se comporten functorially con respecto al mapa de diagramas. Entonces alguna forma de cinco lema implicaría que la obvia mapa de $D^{n} \leftarrow S^{n-1} \rightarrow D^{n}$ $\{ * \} \leftarrow S^{n-1} \rightarrow \{ * \}$debe dar una homología de isomorfismo en la pushouts, ya que el nivel sabio de este mapa de diagramas es un homotopy de equivalencia. Pero el pushout del primer diagrama es $S^{n}$ e es $\{ * \}$ para el segundo, por lo que su homología es diferente.

Answer 2

Un buen exóticas ejemplo es tomar $A=X=Y=S^1$ $f,g$ mapas de grado $2$ $3$ respectivamente, por ejemplo,$z \mapsto z^n$$n=2,3$. A continuación, el pushout $P$ no es ni siquiera Hausdorff. por tanto, debemos reemplazar rápidamente el pushout por el doble asignación del cilindro, es decir, homotopy pushout, y conseguir un buen CW-complejos, cuyo grupo fundamental es el trébol de grupo, $T$ con la presentación de $\{x,y\mid x^2=y^3\}$. Una variante es tomar la fundamental groupoid basado en dos puntos de $0,1$ en cada extremo de la asignación de cilindro y obtener la fundamental groupoid en estos dos puntos que tienen los generadores $x$ a $0$, $y$ en$1$$\iota :0 \to 1$, con la relación $\iota x^2= y^3 \iota$.