¿Cómo demostrar que este mapa es una incrustación de un colector liso?

Question

Me he encontrado con un problema en mi libro de geometría diferencial.

Dejemos que $M$ sea una variedad lisa y $F={C^\infty }(M,\mathbb R)$ .

Definir un mapeo $i:M \to {\mathbb R^F}$ por ${i_f}(x) = f(x)$ para $x > \in M,f \in F$ entonces $i$ es una incrustación.

( $\mathbb R^F$ tiene topología de producto y $i_f$ significa el componente).

La inyectividad y la continuidad no son difíciles. ¿Cómo puedo demostrar que el mapeo es una incrustación?

Answer 1

Dejemos que $K\subset M$ estar cerrado. Sea $K_f = \overline{f(K)}$ el cierre de $f(K)$ . Definir el conjunto $L \subset \mathbb{R}^F$ por $$ L = \cap_{f\in F} p_f^{-1} K_f $$ donde $p_f$ es el mapa de proyección sobre la coordenada $f\in F$ de $\mathbb{R}^F\to\mathbb{R}$ . La continuidad de la proyección garantiza que $L$ está cerrado. Basta con demostrar que $i^{-1}(L) = K$ , ya que obviamente $i(K) \subset L$ .

Observe que $p_f L \subset K_f$ .

Dejemos que $y\in M\setminus K$ . Dado que una variedad topológica es Tychonoff, existe una función continua tal que $h(F) = 0$ y $h(y) = 1$ . Repasando la construcción de las funciones de choque se ve que en un colector liso se puede tomar $h$ para ser suave (por lo tanto $h\in F$ ). (Tome un gráfico de coordenadas alrededor de $y$ , encontrar un $U$ disjuntos de $K$ cuyo cierre está dentro del gráfico. Hacer la función bump relativa al compacto $\{y\}$ y abrir $U$ , se extienden por 0 fuera del gráfico). Por lo tanto, $h(y) \not\in K_h$ Por lo tanto $i(y) \not\in L$ .

Así que $L\cap i(M) = i(K)$ está cerrado, por lo que $i^{-1}$ es continua, por lo que $i$ es un homeomorfismo a su imagen.