He visto que esta indicado en algunos lugares.
Si $$\vartheta(x) = \sum_{p\le{x}} \log (p) \qquad \psi(x) = \sum_{m=1}^{\infty}\vartheta\left(\sqrt[m]{x}\right)$$ Then $$\log(x!) = \sum_{m=1}^{\infty} \psi\left(\frac{x}{m}\right).$$
Es utilizado por Ramanujan aquí. Es utilizado por Jitsuro Nagura aquí.
¿Alguien puede dar una prueba de por qué es cierto o proporcionar un enlace a una prueba?
Muchas gracias.
Nos encontramos con
$$\sum_{m\ge1}\psi\left(\frac{x}{m}\right)=\sum_{m\ge1}\sum_{k\ge1}\vartheta\left(\sqrt[k]{\frac{x}{m}}\right)=\sum_{m\ge1}\sum_{k\ge1}\sum_{p\le \sqrt[k]{x/m}}\log p$$
$$=\sum_{m\ge1}\sum_{k\ge1}\sum_{mp^k\le x}\log p=\log \prod_{p\le x}p^{\#\{(m,k):mp^k\le x\}}=\log x!$$
desde cuando contar $\#\{(m,k):mp^k\le x\}$, uno ve cada $1\le n\le x$ hay $t=v_p(n)$ % de tuplas diferentes $(m,t),(mp,t-1),\cdots,(mp^{t-1},1)$contado en el conjunto (Nota $k\ge1$).
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