¿Cómo mostrar que todos los puntos están dentro del círculo unitario?

Question

Hay $n$ puntos en el plano. Cualquier $3$ de ellos son dentro de un círculo de unidad. ¿Cómo mostrar que todos los puntos están dentro del círculo unitario?

Es necesario demostrar que si hay un círculo de unidad para cada % de puntos de $3$que contiene, también es un círculo de la unidad que contiene todos los puntos de $n$.

Answer 1

Sugerencia: La pregunta alrededor de la FLIP. Pensar en círculos de unidad sobre cada punto.

Sugerencia: Teorema de Helly, $d=2$ - $ \mathbb{R}^2 $, con una colección de conjuntos convexos. Si cada $3$ sistemas tienen una intersección no vacía, entonces todos los conjuntos tienen una intersección no vacía.

Por lo tanto hacer.

Answer 2

Qué tal un argumento reductio ad adsurdum. Supongamos que un punto no es dentro de un círculo de unidad, mostrar una contradicción con la suposición de que los 3 puntos están dentro de un círculo de unidad.

Answer 3

Esto es claramente falso para $n=2$, así que voy a suponer que usted se olvidó de decir $n\geq3$.

Es intuitivamente claro que hay algunas círculo de tamaño mínimo tal que todos los puntos están en su convex hull (ya sea en el círculo o en su interior). Considerar los puntos que están en un círculo; es evidente que hay al menos dos de ellos por minimality. De hecho, ninguno de los arcos del círculo separados por los puntos en los que puede ser más que un semi-círculo, o de lo contrario el círculo con el diámetro de los puntos finales del arco sería más pequeños y contienen todos los puntos. Por lo tanto hay dos casos:

• Hay sólo dos puntos en la circunferencia del círculo, el cual debe ser diametralmente opuestas, y a distancia en la mayoría de las $2$ (considerando la condición con una muestra aleatoria de tercer punto), y nuestro círculo es un círculo unitario o menor que uno.
• Hay tres puntos en el círculo con cada uno de los arcos entre ellos en más de un semi-círculo; estos forman un no-triángulo obtuso, y el círculo es tanto su circunferencia circunscrita y el círculo más pequeño, continuando todos los tres en su casco convexo; una vez más, debe ser una unidad de círculo o de menor tamaño.

Queda por demostrar formalmente la existencia de un círculo más pequeño que contiene todos los puntos, pero esto se hace fácilmente por inducción sobre el número de puntos.