Generalizado de segundo año ' sueño. Pregunta sobre originalidad

Question

Hace un par de meses me derivados de una hermosa realidad:

$$ \sum_{n=k+1}^\infty n^{k-n}=\int_{0}^{1} t^{k-t}dt~~~(*) $$

para cada natural $k$. En general:

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{(n+s)^n}=\int_{-s}^{como} \frac{a^t}{(t+s)^t}dt $$

Es fácil de probar. Usted sólo tiene que utilizar el hecho de que $$ \frac{1}{(n+c)^n}=\int_{0}^\infty \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-t(n+c)}dt $$ Yo sé acerca de estudiante de Segundo año del sueño, pero incluso después de una larga búsqueda no encontré hecho de $(*)$ en la literatura. Por favor me ayuda y respuesta, es original o no?

(+ 1 edition) Después de algún tiempo me derivados otra generalización (el hecho anterior es sólo el caso de la $b=0$):

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{a^{n}}{(n+c)^{n}} \frac{\Gamma(n+b)}{\Gamma(n)(n+c)^b}=\int\limits_ {c}^{c} \left ( \mathrm{ln}\frac{a}{t+c}\right )^b\frac{a^t}{(t+c)^t} dt $$

(donde $\Gamma(x)$ denota la Gamma-función). Otra suma que es muy interesante:

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{n}\Gamma(n+b)\Gamma(n+d)}{n!(n+c)^{n+b}\Gamma(d)}=\int_{0}^\infty \frac{x^{b-1}e^{-x(c-d)}}{(e^x-ax)^{d}} dx $$

Answer 1

Aunque el OP ha dicho que él/ella ya ha derivado el más general de la forma del llamado "Segundo Sueño", pensé que podría beneficiar a los demás a ver el desarrollo de este documento. Así que, aquí vamos ...

$$\begin{align} \int_{-s}^{a-s} \frac{a^t}{(t+s)^t}dt&=a\int_0^1 t^st^{-at}dt \tag1\\\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^na^{n+1}}{n!}\int_0^1t^{n+s}\log^nt\,dt \tag2\\\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^na^{n+1}}{n!}\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\int_0^{\infty} t^ne^{\frac{n+1+s}{n+1}x}dx \tag3\\\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n+1}}{n!(n+1+s)^{n+1}}\int_0^{\infty}t^ne^{-t}dt \tag4\\\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n+1}}{(n+1+s)^{n+1}}\tag5\\\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(n+s)^{n}}\tag6 \end{align}$$

como iba a ser mostrado!

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NOTAS:

$(1)$

Ejecutamos la sustitución de $t \to at-s$

$(2)$

Escribimos $t^{-at}=e^{-at\log t}$ y usó el poder de la serie representación de $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. También hemos utilizado la convergencia uniforme de la potencia de la serie para justificar el intercambio de la integral y la recapitulación.

$(3)$

Ejecutamos la sustitución de $t\to e^{-t/(n+1)}$.

$(4)$

Ejecutamos la sustitución de $t\to \frac{n+1}{n+1+s}t$.

$(5)$

Hemos utilizado la representación integral de la Función Gamma $\Gamma (z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$, que para $z=n+1$$\Gamma (n+1)=n!$.

$(6)$

Cambiamos el índice de la suma de uso $n\to n-1$