Secuencia :

Question

¿Existe una función $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ tal que $f(f(n))+f(n+1)=3n$, $\forall n \in \mathbb{Z}^+$?

Mi intento:

Sustituto $n=1$, $f(f(1))+f(2)=3$ % que $f(2) \in \{1$o $2\}$

Si $f(2)=1, f(f(1))=2$

Sustituto $n=2$, $f(f(2))+f(3)=6$ % que $f(1)+f(3)=6$

Sustituir $n=3$, $f(f(3))+f(4)=9$

Si $f(2)=2$, $f(f(1))=1$ % que $f(1)\not= 2$

Answer 1

Me reclama que no existen funciones.

En primer lugar, supongamos $f(2)=2$. Tenemos $$f(f(2))+f(3)=6\Longrightarrow f(3)=4.$$ Tenemos una contradicción, ya que $$2f(4)=f(f(3))+f(4)=9.$$

Por lo tanto $f(2)=1$. Como usted dijo, $f(f(1))=2$, y, en particular,$f(1)\neq 2$. Vamos a ir a través de todos los casos de $f(1)$ (desde $f(1)+f(3)=6$, sólo hay 5 casos):

• $f(1)=1$; a continuación,$2=f(f(1))=f(1)=1$, una contradicción.
• $f(1)=2$ ya fue descartado.
• $f(1)=3$; a continuación,$f(3)=3$. Pero también se $f(3)=f(f(1))=2$, una contradicción.
• $f(1)=4$; a continuación,$f(4)=f(f(1))=2$$f(3)=2$. Tenemos una contradicción, ya que $9=f(f(3))+f(4)=f(2)+f(4)=4$.
• $f(1)=5$; a continuación,$f(5)=f(f(1))=2$$f(3)=1$. Por lo tanto $$9=f(f(3))+f(4)=f(1)+f(4)=5+f(4),$$ implying $f(4)=4$. This does not work with $f(f(4))+f(5)=12$.

Como conclusión, no hay ninguna de estas funciones.

Answer 2

Vamos a mostrar que no hay tal función.

Desde $f(2)+ff(1)=3$, tenemos dos casos:

---

$f(2)=2$:

$ff(2)+f(3)=6\implies f(3)=4$

$ff(3)+f(4)=9\implies 2f(4)=9$.

El último es imposible, por tanto $f(2)=1$.

---

$f(2)=1:$

$$ ff(2)+f(3)=6\implica f(3)=6-f(1)\\ ff(3)+f(4)=9\implica f(6-f(1))+f(4)=9. $$ La primera de todas las $f(1)\neq 1,2$.

Si $f(1)=5$, entonces : $$ ff(1)=2\implica f(5)=2\\ f(3)=1\implica f(4)=4\\ ff(4)+f(5)=4+f(5)=4+2\neq 3\4 veces. $$ Por lo $f(1)\neq 5$.

Si $f(1)=3$: $$ ff(1)=f(3)=2\\ f(3)=6-f(1)=3 $$ Así que de nuevo $f(1)\neq 3$.

Si $f(1)=4$$f(3)=2$: $$ f(f(1))=f(4)=2\\ ff(3)+f(4)=9\implica 1+f(4)=9. $$ Por lo $f(1)\neq 4$.

Por lo tanto, no hay ninguna función que cumplan esta condición.